Математикадан республикалық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 10 сынып

Келесі шарттарды қанағаттандыратын $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы берілген:
а) кез келген $a,b\in \mathbb{R}$ үшін $\left| f(a)-f(b) \right|\le \left| a-b \right|$;
б) $f(f(f(0)))=0$.
$f(0)=0$ екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $f(0)=a$. Тогда $|f(a)|=|f(f(a))-f(a)|\leq|f(a)-a|\leq|a-0|=|a-f(f(a))|\leq|0-f(a)|=|f(a)|$

Но это выполняется тогда, когда все знаки неравенства поменяются на знаки равенства. Тогда $|f(a)|=|f(a)-a|=|a|$ или $|a|=0$.