Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что 2n+3n делится на n.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Докажем по индукции, что n=5k удоволетворяет условию.
При k=1, 25+35 делится на 5.
Пусть, при k=m условие выполняется, и докажем для k=m+1.
При k=m:
25m+35m≡0 (mod5m). Тогда 25m=5m×l−35m, для какого то натурального l.
Тогда 25m+1+35m+1=(5m×l−35m)5+35m+1.
Откроем скобку при помощи бинома Ньютона:
(5m×l−35m)5+35m+1= 55m×l−5×54m×l4×35m+10×53m×l3×35m×2−10×52m×l2×35m×3+5×5m×l×35m×4−35m+1+35m+1.
А это число делится на 5m+1.
Переход доказан.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.