Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2001 год, 10 класс


Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что 2n+3n делится на n.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года 8 месяца назад #

Рассмотрим n=5k. По LTE:

v5(2n+3n)=v5(2+3)+v5(5k)=k+1, это означает что 2n+3n делится на n. Очевидно что таких n бесконечно.

  0
3 года 8 месяца назад #

Оказывается, уже такое решение есть в 11 классе этого года. Прошу прощения, я не знал что есть.

пред. Правка 2   2
3 года 5 месяца назад #

Докажем по индукции, что n=5k удоволетворяет условию.

При k=1, 25+35 делится на 5.

Пусть, при k=m условие выполняется, и докажем для k=m+1.

При k=m:

25m+35m0 (mod5m). Тогда 25m=5m×l35m, для какого то натурального l.

Тогда 25m+1+35m+1=(5m×l35m)5+35m+1.

Откроем скобку при помощи бинома Ньютона:

(5m×l35m)5+35m+1= 55m×l5×54m×l4×35m+10×53m×l3×35m×210×52m×l2×35m×3+5×5m×l×35m×435m+1+35m+1.

А это число делится на 5m+1.

Переход доказан.