Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Задача №1. Двое ребят играют в игру «Морской бой-2000». На доске

$1\times 200$ они по очереди ставят на свободные клетки доски букву «

$S$ » или «

$O$ ». Выигрывает тот кто первым получает слово «

$SOS$ ». Докажите, что при правильной игре выигрывает второй игрок.
комментарий/решение

Задача №2. Дана окружность с центром в точке

$O$ и две точки

$A$ и

$B$ , лежащие на ней.

$A$ и

$B$ не образуют диаметр. На окружности выбрана точка

$C$ так, что прямая

$AC$ делит отрезок

$OB$ пополам. Пусть прямые

$AB$ и

$OC$ пересекаются в точке

$D$ , а прямые

$BC$ и

$AO$ — в точке

$F$ . Доказать, что

$AF=CD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. В некотором государстве с

$n$ (

$n \geq 3$ ) аэропортами правительство выдает лицензию на авиаперевозки только тем авиакомпаниям, система авиалиний которых удовлетворяет следующим условиям:
а) Каждая авиакомпания должна соединять любые два аэропорта одной и только одной односторонней авиалинией;
б) Для каждой авиакомпании найдется аэропорт, с которого пассажир мог бы вылететь и прилететь обратно, пользуясь услугами только этой авиакомпании.
Каково максимальное количество авиакомпаний с различными системами авиалиний?
комментарий/решение

Задача №4. Найдите все тройки натуральных чисел

$(x, y, z)$ , удовлетворяющие условию

$(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}.$
комментарий/решение(4)

Задача №5. Пусть число

$p$ является простым делителем числа

$2^{2^k}+1$ . Доказать, что

$p-1$ делится на

$2^{k+1}$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. Для положительных чисел

$a$ ,

$b$ и

$c$ , удовлетворяющих равенству

$a+b+c=1$ доказать неравенство

$\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}+\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}+\frac{c^7+a^7}{c^5+a^5}\geq \frac{1}{3}.$
комментарий/решение(4)

Задача №7. Существует ли функция

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , удовлетворяющая следующим условиям?
1 )

$f(0) = 1$ ;
2)

$f(x + f(y)) = f(x + y) + 1$ , для всех

$x, y \in \mathbb{R}$ ;
3) Существует рациональное, но не целое число

$x_0$ такое, что

$f(x_0)$ является целым.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Дан треугольник

$ABC$ и точка

$M$ внутри него. Доказать, что

$\min\{MA, MB, MC\}+MA+MB+MC < AB+BC+AC.$
комментарий/решение(1)