Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс


Существует ли функция f:RR, удовлетворяющая следующим условиям?
1 ) f(0)=1;
2) f(x+f(y))=f(x+y)+1, для всех x,yR;
3) Существует рациональное, но не целое число x0 такое, что f(x0) является целым.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
5 года 8 месяца назад #

Пусть P(x,y) условие 2. При P(x,0): f(x+1)=f(x)+1. С помощью индукции доказывается то что f(x+z)=f(x)+z, где z целое число. А если x=0, то f(z)=z+1 . Пусть f(x0)=y0. ТогдаP(x0,x0): f(2x0)=2y01. С помощью индукции доказывается то что f(nx0)=ny0n+1 верно для любого натурального числа n (пусть f(kx0)=ky0k+1, и подставляешь P((k+1)x0,x0)). Пусть x0=ab, где a целое, b натуральное, и a и b взаимно просты.

a+1=f(bab)=f(bx0)=by0b+1, a=b(y01). Тогда a делится на b. Противоречие.