Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Существует ли функция $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, удовлетворяющая следующим условиям?
1 ) $f(0) = 1$;
2) $f(x + f(y)) = f(x + y) + 1$, для всех $x, y \in \mathbb{R} $;
3) Существует рациональное, но не целое число $x_0$ такое, что $f(x_0)$ является целым.

Комментарий/решение

Пусть $P(x,y)$ условие 2. При $P(x,0)$: $f(x+1)=f(x)+1$. С помощью индукции доказывается то что $f(x+z)=f(x)+z$, где $z$ целое число. А если $x=0$, то $f(z)=z+1$ . Пусть $f(x_{0})=y_{0}$. Тогда$P(x_{0},x_{0})$: $f(2x_{0})=2y_{0}-1$. С помощью индукции доказывается то что $f(nx_{0})=ny_{0}-n+1$ верно для любого натурального числа $n$ (пусть $f(kx_{0})=ky_{0}-k+1$, и подставляешь $P((k+1)x_{0},x_{0})$). Пусть $x_{0}=\dfrac{a}{b}$, где $a$ целое, $b$ натуральное, и $a$ и $b$ взаимно просты.

$a+1=f(b*\dfrac{a}{b})=f(bx_{0})=by_{0}-b+1$, $a=b(y_{0}-1)$. Тогда $a$ делится на $b$. Противоречие.