Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс
Существует ли функция f:R→R, удовлетворяющая следующим условиям?
1 ) f(0)=1;
2) f(x+f(y))=f(x+y)+1, для всех x,y∈R;
3) Существует рациональное, но не целое число x0 такое, что f(x0) является целым.
посмотреть в олимпиаде
1 ) f(0)=1;
2) f(x+f(y))=f(x+y)+1, для всех x,y∈R;
3) Существует рациональное, но не целое число x0 такое, что f(x0) является целым.
Комментарий/решение:
Пусть P(x,y) условие 2. При P(x,0): f(x+1)=f(x)+1. С помощью индукции доказывается то что f(x+z)=f(x)+z, где z целое число. А если x=0, то f(z)=z+1 . Пусть f(x0)=y0. ТогдаP(x0,x0): f(2x0)=2y0−1. С помощью индукции доказывается то что f(nx0)=ny0−n+1 верно для любого натурального числа n (пусть f(kx0)=ky0−k+1, и подставляешь P((k+1)x0,x0)). Пусть x0=ab, где a целое, b натуральное, и a и b взаимно просты.
a+1=f(b∗ab)=f(bx0)=by0−b+1, a=b(y0−1). Тогда a делится на b. Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.