Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Задача №1. Двое ребят играют в игру «Морской бой-2000». На доске $1\times 200$ они по очереди ставят на свободные клетки доски букву «$S$» или «$O$». Выигрывает тот кто первым получает слово «$SOS$». Докажите, что при правильной игре выигрывает второй игрок.
комментарий/решение

---

Задача №2.  Дана окружность с центром в точке $O$ и две точки $A$ и $B$, лежащие на ней. $A$ и $B$ не образуют диаметр. На окружности выбрана точка $C$ так, что прямая $AC$ делит отрезок $OB$ пополам. Пусть прямые $AB$ и $OC$ пересекаются в точке $D$, а прямые $BC$ и $AO$ — в точке $F$. Доказать, что $AF=CD$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. В некотором государстве с $n$ ($n \geq 3$) аэропортами правительство выдает лицензию на авиаперевозки только тем авиакомпаниям, система авиалиний которых удовлетворяет следующим условиям:
а) Каждая авиакомпания должна соединять любые два аэропорта одной и только одной односторонней авиалинией;
б) Для каждой авиакомпании найдется аэропорт, с которого пассажир мог бы вылететь и прилететь обратно, пользуясь услугами только этой авиакомпании.
Каково максимальное количество авиакомпаний с различными системами авиалиний?
комментарий/решение

---

Задача №4.  Найдите все тройки натуральных чисел $(x, y, z)$, удовлетворяющие условию $(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}.$
комментарий/решение(4)

---

Задача №5.  Пусть число $p$ является простым делителем числа $2^{2^k}+1$. Доказать, что $p-1$ делится на $2^{k+1}$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №6. Для положительных чисел $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющих равенству $a+b+c=1$ доказать неравенство $$ \frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}+\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}+\frac{c^7+a^7}{c^5+a^5}\geq \frac{1}{3}. $$
комментарий/решение(3)

---

Задача №7. Существует ли функция $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, удовлетворяющая следующим условиям?
1 ) $f(0) = 1$;
2) $f(x + f(y)) = f(x + y) + 1$, для всех $x, y \in \mathbb{R} $;
3) Существует рациональное, но не целое число $x_0$ такое, что $f(x_0)$ является целым.
комментарий/решение(1)

---

Задача №8. Дан треугольник $ABC$ и точка $M$ внутри него. Доказать, что $$ \min\{MA, MB, MC\}+MA+MB+MC < AB+BC+AC. $$
комментарий/решение(1)

---