Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс


Для положительных чисел a, b и c, удовлетворяющих равенству a+b+c=1 доказать неравенство a7+b7a5+b5+b7+c7b5+c5+c7+a7c5+a513.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
6 года 2 месяца назад #

Докажем это неравенство:

x7+y7x5+y5(x+y)24.

  2
6 года 2 месяца назад #

Где x,y>0.Это неравенство эквивалентно этому:

A=4(x7+y7)(x+y)2(x5+y5)0, A=3(x7+y7)(x2y5+2x6y+2xy6+y2x5)=(x2y2)(x5y5)+2(x6y6)(xy)=(x2y2)(xy)(x4+x3y+x2y2+xy3+y4)+2(x2y2)(xy)(x4+x2y2+y4)=(xy)2(x+y)(2x4+x3y+2x2y2+xy3+2y4)0. Используя это неравенство и неравенство о средних:

a7+b7a5+b5+b7+c7b5+c5+a7+c7a5+c5(a+b)24+(b+c)24+(a+c)24(0,5(a+b)+0,5(b+c)+0,5(a+c))23=13

  2
1 года 10 месяца назад #

a7+b7a5+b5a2+b22    (a5b5)(a2b2)0

Егер a5b5 болса, онда a2b2(a5b5)(a2b2)0

Егер a5b5 болса, онда a2b2(a5b5)(a2b2)0

Sa2+b22+b2+c22+c2+a22=a2+b2+c2(a+b+c)23=13

  0
2 месяца 20 дней назад #

Решение у тебя лучше, 6 лет назад до этого не додумался)