Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс
Для положительных чисел a, b и c, удовлетворяющих равенству a+b+c=1 доказать неравенство
a7+b7a5+b5+b7+c7b5+c5+c7+a7c5+a5≥13.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Где x,y>0.Это неравенство эквивалентно этому:
A=4(x7+y7)−(x+y)2(x5+y5)≥0, A=3(x7+y7)−(x2y5+2x6y+2xy6+y2x5)=(x2−y2)(x5−y5)+2(x6−y6)(x−y)=(x2−y2)(x−y)(x4+x3y+x2y2+xy3+y4)+2(x2−y2)(x−y)(x4+x2y2+y4)=(x−y)2(x+y)(2x4+x3y+2x2y2+xy3+2y4)≥0. Используя это неравенство и неравенство о средних:
a7+b7a5+b5+b7+c7b5+c5+a7+c7a5+c5≥(a+b)24+(b+c)24+(a+c)24≥(0,5(a+b)+0,5(b+c)+0,5(a+c))23=13
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.