Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Для положительных чисел $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющих равенству $a+b+c=1$ доказать неравенство $$ \frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}+\frac{b^7+c^7}{b^5+c^5}+\frac{c^7+a^7}{c^5+a^5}\geq \frac{1}{3}. $$

Комментарий/решение

Докажем это неравенство:

$\dfrac{x^7+y^7}{x^5+y^5}\geq\dfrac{(x+y)^2}{4}$.

Где $x,y>0$.Это неравенство эквивалентно этому:

$A=4(x^7+y^7)-(x+y)^2(x^5+y^5)\geq0$, $A=3(x^7+y^7)-(x^2y^5+2x^6y+2xy^6+y^2x^5)=(x^2-y^2)(x^5-y^5)+2(x^6-y^6)(x-y)=(x^2-y^2)(x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)+2(x^2-y^2)(x-y)(x^4+x^2y^2+y^4)=(x-y)^2(x+y)(2x^4+x^3y+2x^2y^2+xy^3+2y^4)\geq0$. Используя это неравенство и неравенство о средних:

$\dfrac{a^7+b^7}{a^5+b^5}+\dfrac{b^7+c^7}{b^5+c^5}+\dfrac{a^7+c^7}{a^5+c^5}\geq\dfrac{(a+b)^2}{4}+\dfrac{(b+c)^2}{4}+\dfrac{(a+c)^2}{4}\geq\dfrac{(0,5(a+b)+0,5(b+c)+0,5(a+c))^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

$\frac{a^7+b^7}{a^5+b^5}\ge \frac{a^2+b^2}{2} \ \ \iff \ \ (a^5-b^5)(a^2-b^2)\ge 0 $

Егер $a^5\ge b^5$ болса, онда $a^2\ge b^2 \Rightarrow (a^5-b^5)(a^2-b^2)\ge 0$

Егер $a^5\le b^5$ болса, онда $a^2\le b^2 \Rightarrow (a^5-b^5)(a^2-b^2)\ge 0$

$S\ge \frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}=a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a+b+c)^2}{3}= \frac{1}{3}$