Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$ и точка $M$ внутри него. Доказать, что $$ \min\{MA, MB, MC\}+MA+MB+MC < AB+BC+AC. $$

Комментарий/решение

1) Без ограничения общности пусть $\min\{MA,MB,MC\}=AM$.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ проведем перпендикуляр к стороне $AC$ пусть он пересекает $AC,AB$ в точках $D,H$ на перпендикуляре существует такая точка $M$ что $2MA+MB+MC$ монотонно достигает минимума и возрастает, если точка $M$ лежит по другой полуплоскости относительно $AC$ в которой нет точки $B$ то $2AM+BM+CM>2AD+BD+CD$ если точка $M$ лежит левее стороны $AB$ то учитывая что $CM>CH$ и $2AM+BM>2AH+BH$ значит минимум лежит на $DH$.

2) Значит для произвольного перпендикуляра проведенной к $AC$ максимум суммы $2AM+BM+CM$ будет лежат когда точка $M=D,H$.

Пусть $\angle ACB \geq 90^{\circ}$ докажем случаи

Если $M=D$ если провести срединный перпендикуляр $l$ пусть $(K,G) \in l \cap (AC,AB)$ то $AM$ лежит строго внутри треугольника $AGK$(так как оно минимальное). Тогда надо доказать что $2MA+MB+MC<2AD+CD+BD<AB+BC+AC$ или $AB+BC>AD+BD$ достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCB'$ и пусть $N \in AB' \cap BD$ откуда $DN>AD$ так как $\angle ACB \geq 90^{\circ}$ тогда по неравенству треугольников $AB+BC>BB'=2BK>BD+DN>AD+BD$.

Если $M=H$ проведя перпендикуляр $l_{1}$ проходящий через $C$ и пусть $Y \in l_{1} \cap AB$ тогда $G$ середина $AY$ и $GC=GY$ откуда $\angle HCY > \angle HYC$ или $YH>CH$ то аналогично надо доказать $AC+BC>AH+CH$ так как $AC+BC>2AB>AY>AH+HY>AH+CH$.

Если $\angle ABC \geq 90^{\circ}, \ \angle BAC \geq 90^{\circ}$ в последнем четыре случая, рассуждения аналогичны вышеописанному.

3) Рассмотрим остроугольный случай, тогда $AM$ лежит в четырехугольнике ограниченный двумя срединными перпендикулярами и $AB,AC$ тогда помимо рассмотренных выше случаев получаем (когда точка лежит на сторонах $AB,AC$) рассмотрим случай $M$ лежит в центре описанной окружности $O$ радиуса $R$ (точка пересечения перпендикуляров) тогда надо доказать что $2MA+MB+MC<4R<AB+AC+BC$ или $4R<2R(\sin \angle ABC + \sin \angle BAC + \sin \angle ACB)$ или $2<\sin \angle ABC + \sin \angle BAC + \sin (\angle ABC + \angle BAC)$ при условий $\angle ABC + \angle BAC > 90^{\circ}$ и $0<\angle ABC, \angle BAC<90^{\circ}$.

Рассмотрим выражение $f= \sin(a)+\sin(b)+\sin(a+b)$ зафиксируем значение $b$ тогда $f'=2 \cos(\dfrac{b}{2}) \cdot \cos(\dfrac{b}{2}+a)$ тогда максимум функций достигается в точке $a=\dfrac{\pi-b}{2}$ и $\dfrac{\pi-b}{2}>\dfrac{\pi}{2}-b$ для $b>0$ так как $0<b<\dfrac{\pi}{2}$ значит надо доказать что минимальное значение максимума при $a=\dfrac{\pi-b}{2}$ больше $2$ подставляя $f=\sin(b)+2 \cos(\dfrac{b}{2})$ минимум которой равен $2$ в точке $b=0$ значит $f_{min}=2$ при $a=\dfrac{\pi}{2},b=0$ или $f>2$.

Таким образом рассмотрены все случаи и $2MA+MB+MC<AB+BC+AC$.