қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып
Есеп №1. Екі бала «Теңіз шайқасы-2000» ойынын ойнап отыр. Олар $1\times 200$ тақтасының бос шаршыларына кезек-кезек «$S$» немесе «$O$» әріпін қояды. «$SOS$» сөзін алғашқы шығарып алған ойыншы ұтады. Дұрыс ойнаған жағдайда екінші ойыншы әрдайым ұта алатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Центрі $O$ нүктесі болатын шеңбер берілген. Оның бойында жатқан $A$ және $B$ нүктелері диаметр құрамайды. Шеңбер бойынан $AC$ түзуі $OB$ кесіндісін қақ бөлетіндей $C$ нүктесі таңдап алынған. $AB$ және $OC$ түзулері $D$ нүктесінде, ал $BC$ мен $AO$ түзулері $F$ нүктесінде қиылысады. $AF=CD$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Бір мемлекетте $n$ ($n > 3$) әуежай бар. Өкімет авиатасымалдау хұқын авиақатынастар жүйесі келесі шарттарды қанағаттандыратын авиакомпанияларға ғана береді:
а) Әр авиакомпания кез келген екі әуежайды тек қана бір бағытты авиақатынаспен байланыстырады; бұндай авиақатынас та біреу ғана болуы тиіс;
ә) Кез келген авиакомпания үшін тек қана осы авиакомпания арқылы ұшып және қайтып келе алатындай әуежай табылады. Осы мемлекетте авиақатынастар жүйесі әртүрлі болатындай ең көп дегенде неше авиакомпания болуы мүмкін?
комментарий/решение
а) Әр авиакомпания кез келген екі әуежайды тек қана бір бағытты авиақатынаспен байланыстырады; бұндай авиақатынас та біреу ғана болуы тиіс;
ә) Кез келген авиакомпания үшін тек қана осы авиакомпания арқылы ұшып және қайтып келе алатындай әуежай табылады. Осы мемлекетте авиақатынастар жүйесі әртүрлі болатындай ең көп дегенде неше авиакомпания болуы мүмкін?
комментарий/решение
Есеп №4. ${{\left( x+1 \right)}^{y+1}}+1={{\left( x+2 \right)}^{z+1}}$ теңдеуін қанағаттандыратын $\left( x,y,z \right)$ натурал үштіктерін табыңыздар.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №5. $p$ саны ${{2}^{{{2}^{k}}}}+1$ санының жай бөлгіші болсын. $p-1$ саны ${{2}^{k+1}}$ санына бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. Оң $a$, $b$ және $c$ сандары $a+b+c=1$ теңдігін қанағаттандырады. $\dfrac{{{a}^{7}}+{{b}^{7}}}{{{a}^{5}}+{{b}^{5}}}+\dfrac{{{b}^{7}}+{{c}^{7}}}{{{b}^{5}}+{{c}^{5}}}+\dfrac{{{c}^{7}}+{{a}^{7}}}{{{c}^{5}}+{{a}^{5}}}\ge \dfrac{1}{3}.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №7. Келесі шарттарды қанағаттандыратын $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы бар ма?
1 ) $f(0)=1$;
2) $f\left( x+f(y) \right)=f\left( x+y \right)+1$, кез келген $x,y\in \mathbb{R}$ үшін;
3) $f\left( {{x}_{0}} \right)$ бүтін болатындай рационал, бірақ бүтін емес ${{x}_{0}}$ саны табылады.
комментарий/решение(1)
1 ) $f(0)=1$;
2) $f\left( x+f(y) \right)=f\left( x+y \right)+1$, кез келген $x,y\in \mathbb{R}$ үшін;
3) $f\left( {{x}_{0}} \right)$ бүтін болатындай рационал, бірақ бүтін емес ${{x}_{0}}$ саны табылады.
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $ABC$ үшбұрышының ішінен $M$ нүктесі алынған. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер $\min \{MA,MB,MC\}+MA+MB+MC < AB+AC+BC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)