Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 11 сынып

Есеп №1. Екі бала «Теңіз шайқасы-2000» ойынын ойнап отыр. Олар

$1\times 200$ тақтасының бос шаршыларына кезек-кезек «

$S$ » немесе «

$O$ » әріпін қояды. «

$SOS$ » сөзін алғашқы шығарып алған ойыншы ұтады. Дұрыс ойнаған жағдайда екінші ойыншы әрдайым ұта алатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №2. Центрі

$O$ нүктесі болатын шеңбер берілген. Оның бойында жатқан

$A$ және

$B$ нүктелері диаметр құрамайды. Шеңбер бойынан

$AC$ түзуі

$OB$ кесіндісін қақ бөлетіндей

$C$ нүктесі таңдап алынған.

$AB$ және

$OC$ түзулері

$D$ нүктесінде, ал

$BC$ мен

$AO$ түзулері

$F$ нүктесінде қиылысады.

$AF=CD$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Бір мемлекетте

$n$ (

$n > 3$ ) әуежай бар. Өкімет авиатасымалдау хұқын авиақатынастар жүйесі келесі шарттарды қанағаттандыратын авиакомпанияларға ғана береді:
а) Әр авиакомпания кез келген екі әуежайды тек қана бір бағытты авиақатынаспен байланыстырады; бұндай авиақатынас та біреу ғана болуы тиіс;
ә) Кез келген авиакомпания үшін тек қана осы авиакомпания арқылы ұшып және қайтып келе алатындай әуежай табылады. Осы мемлекетте авиақатынастар жүйесі әртүрлі болатындай ең көп дегенде неше авиакомпания болуы мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №4.

${{\left( x+1 \right)}^{y+1}}+1={{\left( x+2 \right)}^{z+1}}$ теңдеуін қанағаттандыратын

$\left( x,y,z \right)$ натурал үштіктерін табыңыздар.
комментарий/решение(4)

Есеп №5.

$p$ саны

${{2}^{{{2}^{k}}}}+1$ санының жай бөлгіші болсын.

$p-1$ саны

${{2}^{k+1}}$ санына бөлінетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Оң

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары

$a+b+c=1$ теңдігін қанағаттандырады.

$\dfrac{{{a}^{7}}+{{b}^{7}}}{{{a}^{5}}+{{b}^{5}}}+\dfrac{{{b}^{7}}+{{c}^{7}}}{{{b}^{5}}+{{c}^{5}}}+\dfrac{{{c}^{7}}+{{a}^{7}}}{{{c}^{5}}+{{a}^{5}}}\ge \dfrac{1}{3}.$
комментарий/решение(4)

Есеп №7. Келесі шарттарды қанағаттандыратын

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функциясы бар ма?
1 )

$f(0)=1$ ;
2)

$f\left( x+f(y) \right)=f\left( x+y \right)+1$ , кез келген

$x,y\in \mathbb{R}$ үшін;
3)

$f\left( {{x}_{0}} \right)$ бүтін болатындай рационал, бірақ бүтін емес

${{x}_{0}}$ саны табылады.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$ABC$ үшбұрышының ішінен

$M$ нүктесі алынған. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер

$\min \{MA,MB,MC\}+MA+MB+MC < AB+AC+BC$ .
комментарий/решение(1)