қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа
Задача №1. Скоростное шоссе, по которому можно ехать со скоростью 150 км/ч, идет параллельно обычному, по которому можно ехать со скоростью 100 км/ч. Проехать 1 км по скоростному шоссе стоит 3 рубля, а по обычному — 1 рубль. Мише надо проехать из Ёлкина в Палкино, до которого 100 км. У него есть 250 рублей. За какое наименьшее время он может добраться до Палкина? Считаем, что разгон, торможение и переход с одного шоссе на другое происходят мгновенно.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. При каких $n$, больших 2, можно расставить в клетках таблицы размером $n\times n$ крестики и нолики (в каждой клетке — один знак) так, чтобы в каждом столбце таблицы, кроме одного, крестиков было больше, чем ноликов, а в каждой строке таблицы, кроме одной, ноликов было больше, чем крестиков?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Есть две кучки по 11 монет в каждой. Известно, что в каждой кучке 10 настоящих монет и одна фальшивая, которая легче настоящей. Все настоящие монеты весят одинаково, обе фальшивые — тоже. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах гарантированно найти не менее 8 настоящих монет?
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Сторона $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ видна из середины $M$ его стороны $AD$ под углом $90^\circ$. Биссектрисы треугольника $BMC$ пересекаются в точке $I$. Известно, что $\angle ABM = \angle MIC$ и $\angle BIM = \angle MCD$. Докажите, что $AI = DI$.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение
комментарий/решение