Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

Задача №1. Скоростное шоссе, по которому можно ехать со скоростью 150 км/ч, идет параллельно обычному, по которому можно ехать со скоростью 100 км/ч. Проехать 1 км по скоростному шоссе стоит 3 рубля, а по обычному — 1 рубль. Мише надо проехать из Ёлкина в Палкино, до которого 100 км. У него есть 250 рублей. За какое наименьшее время он может добраться до Палкина? Считаем, что разгон, торможение и переход с одного шоссе на другое происходят мгновенно. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(2)

Задача №2. Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. При каких

$n$ , больших 2, можно расставить в клетках таблицы размером

$n\times n$ крестики и нолики (в каждой клетке — один знак) так, чтобы в каждом столбце таблицы, кроме одного, крестиков было больше, чем ноликов, а в каждой строке таблицы, кроме одной, ноликов было больше, чем крестиков? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Есть две кучки по 11 монет в каждой. Известно, что в каждой кучке 10 настоящих монет и одна фальшивая, которая легче настоящей. Все настоящие монеты весят одинаково, обе фальшивые — тоже. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах гарантированно найти не менее 8 настоящих монет? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Сторона

$BC$ выпуклого четырехугольника

$ABCD$ видна из середины

$M$ его стороны

$AD$ под углом

$90^\circ$ . Биссектрисы треугольника

$BMC$ пересекаются в точке

$I$ . Известно, что

$\angle ABM = \angle MIC$ и

$\angle BIM = \angle MCD$ . Докажите, что

$AI = DI$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3)