қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа
Есеп №1. 150 км/сағ жылдамдықпен жүруге болатын автомагистраль 100 км/сағ жылдамдықпен жүруге болатын жай тас жолға параллель орналасқан. Автомагистральда жүрген әр 1 км жүру үшін 3 рубль, ал тас жолдағы әр 1 км үшін 1 рубль төлеу керек. Мишаға арасы 100 км болатын Ёлкинадан Палкинаға бару керек. Оның 250 рубльі бар. Ол Палкинаға қандай ең аз уақытта жете алады? Орыннан қозғалу, тоқтау және бір жолдан екінші жолға өту лезде болады деп есептеңіз.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. 20 санның қосындысы 0-ге тең. 9 көк санның қосындысы 10 қызыл санның қосындысынан кем болмайтындай етіп, 20 санның 10-ын қызыл түске, ал басқа 9 санды көк түске бояуға болатынын дәлелдеңіздер.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $n\times n$ өлшемді кесте берілген. Кестенің бір бағанын есепке алмағанда, қалған бағандардың әрқайсысында 1-лер саны 0-дер санынан көп, ал бір қатарды есепке алмағанда, қалған қатарлардың әрқайсысында 0-дер саны 1-лер санынан көп болатындай етіп, $n\times n$ кестенің барлық ұяшықтарына 0-дер мен 1-лерді (әр ұяшыққа бір саннан) қойып шыға алатынымыз белгілі. Бұл жағдай қандай $n \ge 2$ натурал сандары үшін мүмкін?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Әрқайсысы 11 тиыннан тұратын екі үйін бар. Әр үйінде 10 жалған емес және 1 жалған тиын бар екені белгілі, және жалған тиын салмағы жалған емес тиыннан жеңіл болып келеді. Барлық жалған емес тиындардың салмақтары бірдей, және екі жалған тиындардың да салмақтары да бірдей. Екі табақты таразының көмегімен бір өлшем жасау арқылы кепілді түрде кем дегенде 8 жалған емес тиынды таба аламыз ба?
(
К. Кноп
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $M$ нүктесі $AD$ қабырғасының ортасы. $BMC$ үшбұрышының биссектрисалары $I$ нүктесінде қиылысады. Егер $\angle BMC=90^\circ$, $\angle ABM = \angle MIC$ және $\angle BIM = \angle MCD$ екені белгілі болса, $AI = DI$ екенін дәлелдеңіз.
(
А. Кузнецов
)
комментарий/решение
комментарий/решение