Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Задача №1. Дан четырехугольник

$PQRS$ вокруг которого можно описать окружность и

$\angle PSR = 90^\circ$ .

$H$ и

$K$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки

$Q$ на прямые

$PR$ и

$PS$ соответственно. Доказать, что прямая

$HK$ делит отрезок

$QS$ пополам.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Столбцы и строки таблицы

$n\times n$ занумерованы числами от

$1$ до

$n$ . В каждой клетке таблицы записывается одно из чисел

$1$ или

$-1$ .
а) Найдите все

$n$ , для которых можно записать числа в таблицу так, чтобы произведения чисел любой строки и столбца, с одинаковыми номерами, были различными.
б) Для всех таких

$n$ (удовлетворяющих условию а)), определить наименьшее возможное количество чисел, равных

$-1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$a$ ,

$b$ и

$c$ положительные действительные числа, удовлетворяющие равенству

$a^2+b^2+c^2=1$ . Докажите неравенство

$a+b+c+\frac{1}{abc}\geq 4\sqrt3.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. В стране имеется 14 областных центров и 79 самолетов. Ввиду экономии авиакеросина каждый самолет может летать только между двумя городами, и между любыми двумя городами летает не более одного самолета. Доказать, что пассажир может попасть из любого областного центра в любой другой не более чем с одной пересадкой.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Известно, что все члены бесконечной последовательности

$a-b, a^2-b^2, a^3-b^3, \dots$ являются натуральными числами. Докажите, что

$a$ и

$b$ — целые числа.
комментарий/решение(3)

Задача №6. Прямоугольник

$5\times n$ можно разбить на фигурки, которые получаются удалением какой-либо угловой клетки прямоугольника

$2 \times 3$ . Докажите, что

$n$ четно.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Вокруг треугольника

$ABC$ описана окружность.

$A'$ ,

$B'$ ,

$C'$ соответственно середины дуг

$BC, CA, AB$ . Стороны

$BC,CA$ , и

$AB$ пересекают пары отрезков

$(C'A', A'B')$ ,

$(A'B', B'C')$ и

$(B'C', C'A')$ в парах точек

$(M, N)$ ,

$(P, Q)$ и

$(R, S)$ соответственно. Докажите, что

$MN=PQ=RS$ тогда и только тогда, когда треугольник

$ABC$ равносторонний.
комментарий/решение(1)

Задача №8. Для четверки чисел

$(a, b, c, d)$ назовем число

$(ac-bd)$ — определителем и

$(a-c)(b-d)$ — дополнителем. Школьники по очереди выходят к доске и записывают определитель и дополнитель четверки, затем заменяют четверку по следующему правилу. Если на доске была написана четверка

$(x, y, z, t)$ , то она заменяется на

$(x+y, y+z, z+t, t+x)$ . Первоначальная четверка целочисленная. Через некоторое количество выходов выяснилось, что сумма определителей равна 1999, а сумма дополнителей 2000. Доказать, что определитель первоначальной четверки отличается от дополнителя последней.
комментарий/решение(1)