Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность. $A'$, $B'$, $C'$ соответственно середины дуг $BC, CA, AB$. Стороны $BC,CA$, и $AB$ пересекают пары отрезков $(C'A', A'B')$, $(A'B', B'C')$ и $(B'C', C'A')$в парах точек $(M, N)$, $(P, Q)$ и $(R, S)$ соответственно. Докажите, что $MN=PQ=RS$ тогда и только тогда, когда треугольник $ABC$ равносторонний.

Комментарий/решение

Отметим точки $T_1, T_2, T_3$ которые лежат на пересечении прямых $AI \cap RQ, BI \cap MS, CI \cap PN$ соответсвенно.

1. Известно, что $MN=PQ=RS$. Нужно доказать что $\Delta ABC$ - равносторонний.

1) Докажем, что $ARIQ$- ромб . Пусть угол $A = 2x, B= 2y, C=2z$. Отсюда следует, что $◡AB_1=◡B_1C=y; ◡CA_1=◡A_1B=x; BC_1=C_1A=z$.$\rightarrow ∠ARQ= ◡AB_1+ ◡BC_1/2=y+z/2$. Также вычисляется $∠AQR=◡AC_1+B_1C/2=y+z/2$. $\rightarrow ∠ARQ=∠AQR \rightarrow \Delta ARQ$-равнобедренный $\rightarrow$ биссектриса $AT_1$ = ВЫСОТА = медиана. По теореме о трезубце $BC_1=C_1I=C_1A$ (Так как $C_1$ лежит на биссектрисе угла $C$). Значит $\Delta AC_1I$-равнобедренный и $AT_1 \bot C_1T$, то есть высота = Медиана и $T_1$ делит $AI$ пополам. Отсюда и следует что $ARQI$ - ромб, так как диагонали $RQ \bot AI$ и пересекаясь в точке $T_1$ делятся пополам.  Аналогично доказываются, что $CPIN, BMIS$ - ромбы.

2) Докажем, что ромбы $ARIQ,BMIS,CPIN$ - равны. То есть достаточно доказать что $IR=IS=IM=IN=IP=IQ$. Отпустим высоты $IH_1,IH_2,IH_3$ на прямые $SR,QP,MN$. Пусть $RH_1=a$ и $H_1S=b. \rightarrow RH_1=QH_2=a$, так как, $AH_1=AH_2. \rightarrow H_2P=NH_3=b\rightarrow a=MH_3=SH_1=b \rightarrow a=b \rightarrow H_1,H_2,H_3$ -также основания медиан треугольников. $\rightarrow \Delta IRS,IQP,INM$-равнобедренные. Доказано.

2. Известно что $\Delta ABC$ - равносторонний. Нужно доказать $RS=QP=NM$. Легко доказывается что $\Delta A_1B_1C_1$ - тоже равносторнний (сумма всех полу-дуг = 60).$\rightarrow \Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1$ (Например доказвается по теореме синусов)

Дальше уже ранее доказанным свойствам следует что $RIS=QIP=NIM$= равносторонние треугольники. Доказано.