Processing math: 44%

Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып


ABC үшбұрышына сырттай шеңбер сызылған. A, B және C — сәйкесінше BC, CA және AB доғаларының орталары. BC, CA және AB қабырғалары (CA,AB), (AB,BC) және (BC,CA) кесінділер жұптарын сәйкесінше (M,N), (P,Q) және (R,S) нүктелер жұптарында қияды. MN=PQ=RS шарты тек қана ABC үшбұрышы дұрыс үшбұрыш болғанда ғана орындалатын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
8 месяца 25 дней назад #

Отметим точки T1,T2,T3 которые лежат на пересечении прямых AIRQ,BIMS,CIPN соответсвенно.

1. Известно, что MN=PQ=RS. Нужно доказать что ΔABC - равносторонний.

1) Докажем, что ARIQ- ромб . Пусть угол A=2x,B=2y,C=2z. Отсюда следует, что ◡AB_1=◡B_1C=y; ◡CA_1=◡A_1B=x; BC_1=C_1A=z.\rightarrow ∠ARQ= ◡AB_1+ ◡BC_1/2=y+z/2. Также вычисляется ∠AQR=◡AC_1+B_1C/2=y+z/2. \rightarrow ∠ARQ=∠AQR \rightarrow \Delta ARQ-равнобедренный \rightarrow биссектриса AT_1 = ВЫСОТА = медиана. По теореме о трезубце BC_1=C_1I=C_1A (Так как C_1 лежит на биссектрисе угла C). Значит \Delta AC_1I-равнобедренный и AT_1 \bot C_1T, то есть высота = Медиана и T_1 делит AI пополам. Отсюда и следует что ARQI - ромб, так как диагонали RQ \bot AI и пересекаясь в точке T_1 делятся пополам.  Аналогично доказываются, что CPIN, BMIS - ромбы.

2) Докажем, что ромбы ARIQ,BMIS,CPIN - равны. То есть достаточно доказать что IR=IS=IM=IN=IP=IQ. Отпустим высоты IH_1,IH_2,IH_3 на прямые SR,QP,MN. Пусть RH_1=a и H_1S=b. \rightarrow RH_1=QH_2=a, так как, AH_1=AH_2. \rightarrow H_2P=NH_3=b\rightarrow a=MH_3=SH_1=b \rightarrow a=b \rightarrow H_1,H_2,H_3 -также основания медиан треугольников. \rightarrow \Delta IRS,IQP,INM-равнобедренные. Доказано.

2. Известно что \Delta ABC - равносторонний. Нужно доказать RS=QP=NM. Легко доказывается что \Delta A_1B_1C_1 - тоже равносторнний (сумма всех полу-дуг = 60).\rightarrow \Delta ABC=\Delta A_1B_1C_1 (Например доказвается по теореме синусов)

Дальше уже ранее доказанным свойствам следует что RIS=QIP=NIM= равносторонние треугольники. Доказано.