қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. $PQRS$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады және $\angle PSR=90{}^\circ $. $Q$ нүктесінен $PR$ және $RS$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлардың табаны сәйкесінше $H$ және $K$ болсын. $HK$ түзуі $QS$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $n\times n$ тақтаның қатарлары мен бағандары 1-ден $n$-ге дейін нөмірленген. Тақтаның әр шаршысына 1 немесе $-1$ сандары жазылған.
а) Бірдей нөмірлі қатардағы сандардың көбейтіндісі мен бағандағы сандардың көбейтінісі әртүрлі болатындай $n$-нің барлық мүмкін мәнін табыңыздар.
ә) жоғарыдағы а) шартын қанағаттандыратын $n$ үшін $-1$ саны ең аз дегенде қанша болуы тиіс.
комментарий/решение(1)
а) Бірдей нөмірлі қатардағы сандардың көбейтіндісі мен бағандағы сандардың көбейтінісі әртүрлі болатындай $n$-нің барлық мүмкін мәнін табыңыздар.
ә) жоғарыдағы а) шартын қанағаттандыратын $n$ үшін $-1$ саны ең аз дегенде қанша болуы тиіс.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $a$, $b$ және $c$ оң нақты сандары ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$ теңдігін қанағаттандырады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $a+b+c+1/(abc)\ge 4\sqrt{3}$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. «Жетпіс жеті күн» бағдарламасының мәліметі бойынша Қызықстан елінде 14 облыстық орталық және 79 ұшақ бар. Авиакеросинді үнемдеу мақсатымен әрбәр үшақ тек екі қаланың арасында ғана үша алады және кез-келген екі қала көп дегенде бір үшақпен байланысады. Осы жағдайда жолаушы кез келген облыс орталығынан басқа бір облыс орталығына көп дегенде бір-ақ рет үшақ ауыстырып жете алатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $a-b$, ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$, ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}$, $\ldots $ шексіз тізбегінің әрбір мүшесі натурал сан екені белгілі. $a$ және $b$ сандары бүтін екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №6. Егер $5\times n$ тіктөртбұрыш тақтасын мынадай фигураларға бөлуге болатын болса, $n$-нің жұп екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $ABC$ үшбұрышына сырттай шеңбер сызылған. $A'$, $B'$ және $C'$ — сәйкесінше $BC$, $CA$ және $AB$ доғаларының орталары. $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғалары $\left( C'A',A'B' \right)$, $\left( A'B',B'C' \right)$ және $\left( B'C',C'A' \right)$ кесінділер жұптарын сәйкесінше $\left( M,N \right)$, $\left( P,Q \right)$ және $\left( R,S \right)$ нүктелер жұптарында қияды. $MN=PQ=RS$ шарты тек қана $ABC$ үшбұрышы дұрыс үшбұрыш болғанда ғана орындалатын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. $\left( a,b,c,d \right)$ төрттігі $\left( ac-bd \right)$-ны анықтауыш, ал $\left( a-c \right)\left( b-d \right)$ санын толықтауыш деп атайық. Оқушылар кезек-кезек тақтаға шығып, төрттіктің анықтауышы мен толықтауышын тақтаға жазады да, тақтадағы төрттікті келесі тәртіппен ауыстырады. Егер тақтада $\left( x,y,z,t \right)$ сандары жазылып тұрған болса, оны $\left( x+y,y+z,z+t,t+x \right)$ төрттігіне ауыстырады. Бастапқы төрттік бүтін сандардан құралған. Бірнеше оқушылардан кейін анықтауыштардың қосындысы 1999-ға, ал толықтауыштардың қосындысы 2000-ға тең болған болса, бастапқы төрттіктің анықтауышы соңғы төрттіктің толықтауышна тең емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)