Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып

Есеп №1.

$PQRS$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады және

$\angle PSR=90{}^\circ$ .

$Q$ нүктесінен

$PR$ және

$RS$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлардың табаны сәйкесінше

$H$ және

$K$ болсын.

$HK$ түзуі

$QS$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$n\times n$ тақтаның қатарлары мен бағандары 1-ден

$n$ -ге дейін нөмірленген. Тақтаның әр шаршысына 1 немесе

$-1$ сандары жазылған.
а) Бірдей нөмірлі қатардағы сандардың көбейтіндісі мен бағандағы сандардың көбейтінісі әртүрлі болатындай

$n$ -нің барлық мүмкін мәнін табыңыздар.
ә) жоғарыдағы а) шартын қанағаттандыратын

$n$ үшін

$-1$ саны ең аз дегенде қанша болуы тиіс.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$a$ ,

$b$ және

$c$ оң нақты сандары

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$ теңдігін қанағаттандырады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$a+b+c+1/(abc)\ge 4\sqrt{3}$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №4. «Жетпіс жеті күн» бағдарламасының мәліметі бойынша Қызықстан елінде 14 облыстық орталық және 79 ұшақ бар. Авиакеросинді үнемдеу мақсатымен әрбәр үшақ тек екі қаланың арасында ғана үша алады және кез-келген екі қала көп дегенде бір үшақпен байланысады. Осы жағдайда жолаушы кез келген облыс орталығынан басқа бір облыс орталығына көп дегенде бір-ақ рет үшақ ауыстырып жете алатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$a-b$ ,

${{a}^{2}}-{{b}^{2}}$ ,

${{a}^{3}}-{{b}^{3}}$ ,

$\ldots$ шексіз тізбегінің әрбір мүшесі натурал сан екені белгілі.

$a$ және

$b$ сандары бүтін екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Егер

$5\times n$ тіктөртбұрыш тақтасын мынадай фигураларға бөлуге болатын болса,

$n$ -нің жұп екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$ABC$ үшбұрышына сырттай шеңбер сызылған.

$A'$ ,

$B'$ және

$C'$ — сәйкесінше

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ доғаларының орталары.

$BC$ ,

$CA$ және

$AB$ қабырғалары

$\left( C'A',A'B' \right)$ ,

$\left( A'B',B'C' \right)$ және

$\left( B'C',C'A' \right)$ кесінділер жұптарын сәйкесінше

$\left( M,N \right)$ ,

$\left( P,Q \right)$ және

$\left( R,S \right)$ нүктелер жұптарында қияды.

$MN=PQ=RS$ шарты тек қана

$ABC$ үшбұрышы дұрыс үшбұрыш болғанда ғана орындалатын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$\left( a,b,c,d \right)$ төрттігі

$\left( ac-bd \right)$ -ны анықтауыш, ал

$\left( a-c \right)\left( b-d \right)$ санын толықтауыш деп атайық. Оқушылар кезек-кезек тақтаға шығып, төрттіктің анықтауышы мен толықтауышын тақтаға жазады да, тақтадағы төрттікті келесі тәртіппен ауыстырады. Егер тақтада

$\left( x,y,z,t \right)$ сандары жазылып тұрған болса, оны

$\left( x+y,y+z,z+t,t+x \right)$ төрттігіне ауыстырады. Бастапқы төрттік бүтін сандардан құралған. Бірнеше оқушылардан кейін анықтауыштардың қосындысы 1999-ға, ал толықтауыштардың қосындысы 2000-ға тең болған болса, бастапқы төрттіктің анықтауышы соңғы төрттіктің толықтауышна тең емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)