Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Дан четырехугольник $PQRS$ вокруг которого можно описать окружность и $\angle PSR = 90^\circ$. $H$ и $K$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $Q$ на прямые $PR$ и $PS$ соответственно. Доказать, что прямая $HK$ делит отрезок $QS$ пополам.

Комментарий/решение

Если $QH \perp PR$ и $QK \perp PS$ , то точки $Q,P,H,K$ лежат на одной окружности , значит $\angle PKH = \angle PQH = 90^{\circ} - \angle RPQ$ , тогда как $\angle PSQ = \angle PRQ = 90^{\circ} - \angle RPQ$ , то есть $KM = SM = QM$ , где $M$ середина $QS$ , то есть $KM$ медиана треугольника $SQK$ . Значит $HK$ делит $QS$ пополам.