Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып

$PQRS$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызуға болады және $\angle PSR=90{}^\circ$. $Q$ нүктесінен $PR$ және $RS$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлардың табаны сәйкесінше $H$ және $K$ болсын. $HK$ түзуі $QS$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Если $QH \perp PR$ и $QK \perp PS$ , то точки $Q,P,H,K$ лежат на одной окружности , значит $\angle PKH = \angle PQH = 90^{\circ} - \angle RPQ$ , тогда как $\angle PSQ = \angle PRQ = 90^{\circ} - \angle RPQ$ , то есть $KM = SM = QM$ , где $M$ середина $QS$ , то есть $KM$ медиана треугольника $SQK$ . Значит $HK$ делит $QS$ пополам.