Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып
а) Бірдей нөмірлі қатардағы сандардың көбейтіндісі мен бағандағы сандардың көбейтінісі әртүрлі болатындай n-нің барлық мүмкін мәнін табыңыздар.
ә) жоғарыдағы а) шартын қанағаттандыратын n үшін −1 саны ең аз дегенде қанша болуы тиіс.
Комментарий/решение:
а) Пусть n=2k, тогда запишем в последний столбец только −1, а в остальные +1, тогда произведение чисел в любом столбце будет равно 1, в то время как произведение чисел в любой строке будет равняться −1, условие выполняется.
Пусть теперь n=2k+1, рассмотрим количество чисел −1, не включая тех, что расположены на главной диагонали. Пусть их количество =S. Заметим, что для любого столбца и строки, убрав общую клетку, получим, что произведения оставшихся чисел строки и столбца будут отличаться в любом случае, ⇒Si= нечетное. Делая аналогичные команды для других номеров таблицы 2k+1 × 2k+1 получим, что S=2k+1∑i=1Si2, поскольку каждое число −1 считаем дважды, но S - целое, противоречие
б) Для любого столбца и строки найдется хотя бы 1 число −1, и это число задействовано в другом столбце/строке 1 раз, ⇒ Количество −1≥2k/2=k, где n=2k Пример для k:
−1 ставим на 2i-ый столбец, 2i−1-ую строку для каждого i∈k
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.