Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып


n×n тақтаның қатарлары мен бағандары 1-ден n-ге дейін нөмірленген. Тақтаның әр шаршысына 1 немесе 1 сандары жазылған.
а) Бірдей нөмірлі қатардағы сандардың көбейтіндісі мен бағандағы сандардың көбейтінісі әртүрлі болатындай n-нің барлық мүмкін мәнін табыңыздар.
ә) жоғарыдағы а) шартын қанағаттандыратын n үшін 1 саны ең аз дегенде қанша болуы тиіс.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   2
3 года 1 месяца назад #

а) Пусть n=2k, тогда запишем в последний столбец только 1, а в остальные +1, тогда произведение чисел в любом столбце будет равно 1, в то время как произведение чисел в любой строке будет равняться 1, условие выполняется.

Пусть теперь n=2k+1, рассмотрим количество чисел 1, не включая тех, что расположены на главной диагонали. Пусть их количество =S. Заметим, что для любого столбца и строки, убрав общую клетку, получим, что произведения оставшихся чисел строки и столбца будут отличаться в любом случае, Si= нечетное. Делая аналогичные команды для других номеров таблицы 2k+1 × 2k+1 получим, что S=2k+1i=1Si2, поскольку каждое число 1 считаем дважды, но S - целое, противоречие

б) Для любого столбца и строки найдется хотя бы 1 число 1, и это число задействовано в другом столбце/строке 1 раз, Количество 12k/2=k, где n=2k Пример для k:

1 ставим на 2i-ый столбец, 2i1-ую строку для каждого ik