Республиканская олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

Для четверки чисел $(a, b, c, d)$ назовем число $(ac-bd)$ — определителем и $(a-c)(b-d)$ — дополнителем. Школьники по очереди выходят к доске и записывают определитель и дополнитель четверки, затем заменяют четверку по следующему правилу. Если на доске была написана четверка $(x, y, z, t)$, то она заменяется на $(x+y, y+z, z+t, t+x)$. Первоначальная четверка целочисленная. Через некоторое количество выходов выяснилось, что сумма определителей равна 1999, а сумма дополнителей 2000. Доказать, что определитель первоначальной четверки отличается от дополнителя последней.

Комментарий/решение

Докажем что определитель $n+1$-ой четверки по модулю равен, а по знаку отличается от дополнителя $n$-ой четверки: допустим, что на $n$-ом выходе была четверка $( a, b, c, d)$, тогда $n+1$-ая четверка будет $( a + b, b + c, c + d, d + a)$. Дополнитель $n$-ой четверки равен $( a - c)( b - d)$ и определитель $n+1$-ой четверки равен $( a + b)( c + d) - ( b + c)( d + a) = ac + ad + bc + bd - bd - ab - cd - ac = ad + bc - ab - cd = -( a - c)( b - d)$. Значит сумма всех определителей и дополнителей равна $3999$, а также равна сумме первого определителя и последнего дополнителя. Но так как $3999$ - число нечетное, то первый определитель не может быть равен последнему дополнителю, что и требовалось доказать.