Математикадан республикалық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 9 сынып

$\left( a,b,c,d \right)$ төрттігі $\left( ac-bd \right)$-ны анықтауыш, ал $\left( a-c \right)\left( b-d \right)$ санын толықтауыш деп атайық. Оқушылар кезек-кезек тақтаға шығып, төрттіктің анықтауышы мен толықтауышын тақтаға жазады да, тақтадағы төрттікті келесі тәртіппен ауыстырады. Егер тақтада $\left( x,y,z,t \right)$ сандары жазылып тұрған болса, оны $\left( x+y,y+z,z+t,t+x \right)$ төрттігіне ауыстырады. Бастапқы төрттік бүтін сандардан құралған. Бірнеше оқушылардан кейін анықтауыштардың қосындысы 1999-ға, ал толықтауыштардың қосындысы 2000-ға тең болған болса, бастапқы төрттіктің анықтауышы соңғы төрттіктің толықтауышна тең емес екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Докажем что определитель $n+1$-ой четверки по модулю равен, а по знаку отличается от дополнителя $n$-ой четверки: допустим, что на $n$-ом выходе была четверка $( a, b, c, d)$, тогда $n+1$-ая четверка будет $( a + b, b + c, c + d, d + a)$. Дополнитель $n$-ой четверки равен $( a - c)( b - d)$ и определитель $n+1$-ой четверки равен $( a + b)( c + d) - ( b + c)( d + a) = ac + ad + bc + bd - bd - ab - cd - ac = ad + bc - ab - cd = -( a - c)( b - d)$. Значит сумма всех определителей и дополнителей равна $3999$, а также равна сумме первого определителя и последнего дополнителя. Но так как $3999$ - число нечетное, то первый определитель не может быть равен последнему дополнителю, что и требовалось доказать.