Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2024 год

Задача №1. В наборе 2024 чисел:

$2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2024}$ . Сколькими способами из этого набора можно убрать одно число, чтобы произведение оставшихся чисел было квадратом некоторого натурального числа?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Бахыт и Куаныш по очереди красят полоску из 2025 клеток. За каждый ход разрешается закрасить один из еще не закрашенных клеток в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. После того, как все клетки будут закрашены, победа присуждается Бахыту, если в ряду найдутся три подряд идущих клеток трёх разных цветов; иначе победа присуждается Куанышу. Кто должен выигрет при правильной игре, если игру начинает Бахыт? (Вначале игры все клетки не закрашены.)
комментарий/решение(2)

Задача №3. Действительные числа

$x$ ,

$y$ и

$z$ удовлетворяют условиям

${{x}^{2}}+y={{z}^{2}}, \quad {{y}^{2}}+z={{x}^{2}}, \quad {{z}^{2}}+x={{y}^{2}}.$ Найдите значение произведения

$xyz$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. У ювелира есть два изумруда, два сапфира, два рубина и два бриллианта. Камни одного вида весят одинаково. Покупатель уже знает, что вес каждого из этих камней принимает одно из значений: 6, 7 или 8 граммов. Как за три взвешивания на чашечных весах ювелир сможет убедить покупателя, что камни одного вида действительно весят одинаково?
комментарий/решение(2)

Задача №5. Пустое клетчатое поле

$6 \times 6$ надо превратить в лабиринт, закрасив некоторые клетки (сделав их стенами). Робот начинает в левом верхнем углу, его задача — посетить три оставшихся угла доски, пройдя кратчайший путь. За ход робот переходит в соседнюю по стороне клетку, не выходя за границы поля. Приведите пример лабиринта, в котором роботу потребуется хотя бы 35 ходов. (Робот может определить кратчайший маршрут сразу, до начала движения. Лабиринт должен быть таким, чтобы робот мог дойти до остальных углов.)

комментарий/решение

Задача №6. Докажите, что в любом шестизначном числе, делящемся на 101, можно поменять местами две цифры так, что снова получится шестизначное число, делящееся на 101 (если в числе встретились одинаковые цифры, их тоже разрешается менять местами).
комментарий/решение(1)

Задача №7. Внутри треугольника

$ABC$ отмечена точка

$P$ так, что

$\angle APC+\angle ABC=180^\circ$ и

$BC=AP$ . Точка

$K$ лежит на стороне

$AB$ так, что

$AK=KB+PC$ . Найдите угол

$AKC$ .
комментарий/решение(1)

Задача №8. Докажите для любых действительных чисел

$a$ ,

$b$ выполнено неравенство

${{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5b}{6} \right)}^{2}}\ge 3b\left( 1+\frac{8a}{9} \right)-9.$
комментарий/решение(1)