Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2024 год

Есеп №1. Жиында 2024 саны бар: $2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2024}$. Қалған сандардың көбейтіндісі қандай да бір натурал санның квадраты болатындай бір санды осы жиыннан неше тәсілмен алып тастауға болады?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Бақыт пен Қуаныш кезек-кезекпен 2025 ұяшықтан тұратын жолақты бояйды. Әр жүрісте әлі боялмаған ұяшықтардың біреуін үш түстің (қызыл, сары немесе жасыл) біріне бояуға рұқсат. Барлық 2025 ұяшықтар боялып біткен кезде қатарынан келген үш түрлі түсті үш ұяшық табылса, жеңіс Бақытқа беріледі; ал табылмаса — Қуанышқа беріледі. Егер ойынды Бақыт бастаса, дұрыс ойында кім ұтады? (Ойынның басында барлық ұяшықтар боялмаған.)
комментарий/решение

Есеп №3. $x$, $y$ және $z$ нақты сандары $${{x}^{2}}+y={{z}^{2}}, \quad {{y}^{2}}+z={{x}^{2}}, \quad {{z}^{2}}+x={{y}^{2}}$$ теңдіктерін қанағаттандырады. $xyz$ көбейтіндісінің мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Зергерде екі изумруд, екі жақұт, екі лағыл және екі гауһар тастар бар. Бір типті тастардың салмағы бірдей. Сатып алушы осы тастардың әрқайсысының салмағы 6, 7 немесе 8 грамм екенін біледі. Зергер екі табақты таразыда үш өлшеу арқылы бір типті тастар бірдей салмаққа ие екендігін қалай көрсете алады?
комментарий/решение

Есеп №5. Торкөзі $6 \times 6$ болатын бос шаршы берілген. Оның кейбір торкөздерін бояу арқылы, оларды қабырға ретінде есептеп, лабиринт жасауға болады. Робот шаршының сол жақ үстіңгі бұрыштан бастап жүреді және оның мақсаты — шаршының қалған үш бұрыштарына ең қысқа жол арқылы жету. Бір жүрісте робот көрші торкөзге алаңның жиегіне шықпай жүре алады. Кемінде 35 жүріс жасау арқылы робот мақсатына жете алатын лабиринтке мысал келтіріңіз. (Робот ең қысқа маршрутты жүрісті бастамай тұрып анықтай алады. Құрастырылған лабиринтте робот қалған бұрыштарға жете алатындай болуы керек.)

комментарий/решение

Есеп №6. Кез келген 101-ге бөлінетін 6 таңбалы санның екі цифрларын орнындарымен ауыстырып, 101-ге бөлінетін жаңа 6 таңбалы санды алуға болатынын дәлелдеңіз. (Егер бірдей цифрлар кездессе, олардың да орнын ауыстыруға болады.)
комментарий/решение(1)

Есеп №7. $ABC$ үшбұрышының ішінде $P$ нүктесі $\angle APC+\angle ABC=180^\circ$ және $BC=AP$ болатындай етіп белгіленген. $AB$ қабырғасында $K$ нүктесі $AK=KB+PC$ болатындай белгіленген. $AKC$ бұрышын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Кез келген нақты $a$, $b$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $${{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5b}{6} \right)}^{2}}\ge 3b\left( 1+\frac{8a}{9} \right)-9.$$
комментарий/решение(1)