Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2024 год

Докажите для любых действительных чисел $a$, $b$ выполнено неравенство $${{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5b}{6} \right)}^{2}}\ge 3b\left( 1+\frac{8a}{9} \right)-9.$$

Комментарий/решение

$$4a^2+\frac{16b^2}{36}\geq 2\cdot \sqrt{4a^2\cdot\frac{16b^2}{36}}=\frac{8ab}{3},$$

$$\frac{9b^2}{36}+9\geq 2\cdot\sqrt{\frac{9b^2}{36}\cdot 9}=3b,$$

$$4a^2+\frac{16b^2}{36}+\frac{9b^2}{36}+9\geq \frac{8ab}{3}+3b,$$

$$(2a)^2+\left(\frac{5b}{6}\right)^2\geq \frac{8ab}{3}+3b-9=3b\left(1+\frac{8a}{9}\right)-9.$$