Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2024 год

Действительные числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условиям $${{x}^{2}}+y={{z}^{2}}, \quad {{y}^{2}}+z={{x}^{2}}, \quad {{z}^{2}}+x={{y}^{2}}.$$ Найдите значение произведения $xyz$.

Комментарий/решение

если сложим все три выражения то получим что x^2 + y^2 + z^2 + x + z + y = x^2 + y^2 + z^2. значит что x+z+y=0. и отсюда поймем что z = -x-z. дальше подставим это в первое выражение: x^2 + y = (x + y)^2 а отсюда получим что у (y + 2x -1) = 0; предположим что y = 0 тогда xzy = 0; а если y + 2x -1 = 0 то y = -2x +1 следовательно z = x-1 и если подставим это во второе выражение то получим что 3x ( x-1 ) = 0 где либо x=0 либо =1 где z = x -1 тоже будет равен 0. следовательно получим что xyz всегда равно 0

Гениально,вот твое решение с latex:

если сложим все три выражения то получим что $x^2 + y^2 + z^2 + x + z + y = x^2 + y^2 + z^2$. значит что $x+z+y=0$. и отсюда поймем что $z = -x-z$. дальше подставим это в первое выражение: $x^2 + y = (x + y)^2$ а отсюда получим что $у \cdot (y + 2x -1) = 0$; предположим что $y = 0$ тогда $xzy = 0$; а если $y + 2x -1 = 0$ то $y = -2x +1$ следовательно $z = x-1$ и если подставим это во второе выражение то получим что $3x \cdot ( x-1 ) = 0$ где либо $x=0$ либо $x=1$ где $z = x -1$ тоже будет равен $0$. следовательно получим что $xyz$ всегда равно $0$

Собрались 3 гения из РФМШ(точно не знакомы друг с другом).