Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2024 год

Зергерде екі изумруд, екі жақұт, екі лағыл және екі гауһар тастар бар. Бір типті тастардың салмағы бірдей. Сатып алушы осы тастардың әрқайсысының салмағы 6, 7 немесе 8 грамм екенін біледі. Зергер екі табақты таразыда үш өлшеу арқылы бір типті тастар бірдей салмаққа ие екендігін қалай көрсете алады?

Комментарий/решение

обозначим веса камней как A1,A2;B1,B2;C1,C2;D1,D2 изумруда,сапфира,рубина и бриллианта соотвественно.Тогда ювелир должен три следующих взвешивания:

A1+B1+C1=A2+B2+C2

A1+B1+D1=A2+B2+D2

A1+C2+D2=A2+C1+D1

отсюда следует что 3A1+2B1=3A2+2B2(D1+D2 взаимно уничтожаются)=> 3(A1-A2)=2(B2-B1).Так как камни весят 6,7,8 грамм то разность B2-B1 может принимать значения:

0,-1,1,-2,2=>Мы знаем что B2-B1 кратно 3=>B2=B1.Очевидно что тогда А1=А2=>подставив эти условия в эти 3 равенства можно убедиться что C1=C2;D1=D2

харош задр $respect$