қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа
Задача №1. Семь различных камней таковы, что любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг. Докажите, что все семь камней вместе весят меньше 7 кг.
(
Фольклор
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №2. Назовем пару различных натуральных чисел хорошей, если одно из них делится на другое. Найдите такие 20 натуральных чисел, среди которых нет равных, что если выписать все возможные пары этих чисел, то количество хороших среди них будет равно 101. (Каждая пара записывается один раз. Порядок чисел в парах не учитывается, то есть пары ${(a, b)}$ и ${(b, a)}$ считаются за одну.)
Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются. ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются. ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №3. В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB = BC)$ точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $\angle ABK = \angle BKA$. Оказалось, что $KB = KM$. Докажите, что $2AC = 3AB$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пять положительных чисел таковы, что сумма их кубов меньше суммы их квадратов. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 2.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №5. При каких натуральных $n$, больших 5, клетчатый квадрат размером $n\times n$ клеточек можно без остатка разрезать на прямоугольники из двух клеток и кресты из пяти клеток так, чтобы получились фигуры обоих этих видов? Крест из пяти клеток изображен на рисунке справа.
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)