Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа

Семь различных камней таковы, что любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг. Докажите, что все семь камней вместе весят меньше 7 кг. ( Фольклор )

Комментарий/решение

Хорошая задача

Если 6 камней весят меньше 6 кг, то как минимум у одного вес будет меньше кг , и мы взвешиваем 6 камней без этого камня, у них тоже меньше 6 кг, а значит 7 камней весят меньше 7 кг.

Даал

Обозначим все весы камней через буквы $(a, b, c..., g)$

И так, составим систему неравенств:

$a+b+c+d+e+f<6$

$a+b+c+d+e+g<6$

$a+b+c+d+f+g<6$

$...$

$b+c+d+e+f+g<6$

Сложим все неравенства и получим:

$6(a+b+c+d+e+f+g)<6×7$

$a+b+c+d+e+f+g<7$

ч.т.д.

6 камней весят меньше 6 кг, 1 камень < 1 кг, 7 камней < 7 кг