Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа

Семь различных камней таковы, что любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг. Докажите, что все семь камней вместе весят меньше 7 кг. ( Фольклор )

Комментарий/решение

Хорошая задача

Если 6 камней весят меньше 6 кг, то как минимум у одного вес будет меньше кг , и мы взвешиваем 6 камней без этого камня, у них тоже меньше 6 кг, а значит 7 камней весят меньше 7 кг.

Даал

6 камней весят меньше 6 кг, 1 камень < 1 кг, 7 камней < 7 кг

Ну то что 1 камень < 1 кг не факт

а+b+c+x+y+z+<6=> вес камней находится в интервале от 0 до 5 => допустим а=5 => b+c+x+y+z<1 значит они все по 0 кг =>b+c+x+y+z=0 => 5+0<6 верное утверждение => с 7 камнями также

a - вес 1 камня, b - вес 2 камня, c - вес 3 камня и т.д.

Составим по условию задачи все 7 возможных комбинаций 6 камней:

a+b+c+d+e+f<6

a+b+c+d+e+g<6

a+b+c+d+f+g<6

a+b+c+e+f+g<6

a+b+d+e+f+g<6

a+c+d+e+f+g<6

b+c+d+e+f+g<6

Сложим все оценки и разделим обе части на 6:

6a+6b+6c+6d+6e+6f+6g<42

6(a+b+c+d+e+f+g)<42

a+b+c+d+e+f+g<7

Ч.т.д.