Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа

Есеп №1. Салмақтары әртүрлі жеті тастың кез келген алтауының салмағы 6 кг-нан аз. Барлық жеті тастың салмағы 7 кг-нан аз екенін дәлелдеңдер. ( Фольклор )
комментарий/решение(6)

---

Есеп №2. Екі өзара тең емес натурал сандар жұбында оның біреуі екіншісіне бөлінсе, ондай жұпты жақсы жұп деп атаймыз. Барлық мүмкін жұптарды жазғанда, олардың арасындағы жақсы жұп саны дәл 101 болатындай, өзара әртүрлі 20 натурал сандарды табыңыз. (Әр жұп тек бір рет жазылады, демек олар қай-таланбауы керек, яғни ${(a, b)}$ және ${(b, a)}$ жұптары бірдей болып есептеледі.)
   Тапқан жауапты негіздеуді ұмытпаңыз, яғни сіз тапқан сандар неліктен дәл 101 жақсы жұпты беретінін түсіндіріңіз. Түсіндірмеміз жауаптар есепке алынбайды. ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Теңбүйірлі $ABC$ $(AB = BC)$ үшбұрышында $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы. $AC$ қабырғасынан $\angle ABK = \angle BKA$ болатындай $K$ нүктесі алынған. Егер $KB = KM$ болса, $2AC = 3AB$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Бес оң санның кубтарының қосындысы олардың квадраттарының қосын-дысынан кіші. Осы бес санның әрқайсысы 2-ден кіші екенін дәлелдеңдер. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №5. 5-тен үлкен натурал $n$ санының қандай мәндерінде өлшемі $n\times n$ болатын ұяшықты шаршыны, кесу кезінде бос ұяшық қалмайтындай етіп, екі ұяшықтан тұратын тіктөртбұрыштарға және бес ұяшықтан тұратын кресттерге бөліп шығуға болады? Кесу кезінде тіктөртбұрыш фигурасы да, крест фигурасы да болуы керек. Оң жақтағы суретте бес ұяшықтан тұратын крест көрсетілген. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(6)

---