қазақша
русскийМатематикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып
Есеп №1. Екі оқушы кезектесіп $1\cdot 3\cdot {{3}^{2}}\cdot {{3}^{3}}\cdot \ldots \cdot {{3}^{1999}}$ өрнегіндегі «$\cdot $» таңбасын «$+$» не «$-$» таңбасына өзгертеді. Екінші оқушының мақсаты — нәтижесінде 11-ге бөлінетін қосынды алу. Бірінші (бастайтын) оқушы бұған кедергі жасай ала ма?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $\overline{abccba}={{\overline{cda}}^{2}}$ теңдігін қанағаттандыратын барлық $a,b,c$ және $d$ цифрларын тап, мұңдағы әр түрлі әріптерге әр түрлі цифрлар сәйкес келеді.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Шеңбердің бойында сегіз шам орналастырылған, олардың бірнешеуі жанып тұр. Әрбір минут сайын барлық шамдарға бірден мынадай өзгерістер жасалады. Егер өзгеріске дейін ер шамның көршілес біреуі жанып, ал екшшісі өшіп тұрса, өзгерістен кейін шам өшеді. Керісінше, егер өзгеріске дейін кершілес екі шамының екеуі де жанып тұрса, немесе екеуі де өшіп тұрса, өзгерістен кейін шам жанады. Төрт минуттан соң барлық шам жанатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Үлкен қабырғасы $AB$ болатын $ABCD$ тіктөртбұрышы берілген. Центрі $B$ нүктесінде орналасқан, радиусы $AB$-ға тең шеңбер $CD$ түзуін $E$ және $F$ нүктелерінде қияды.
a) $EBF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AD$ кесіндісін диаметр етіп алып салынған шеңбермен жанасатынын дәлелде.
б) $G$ — осы шеңберлердің жанасу нүктесі болсын. $D$, $G$ және $B$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
a) $EBF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AD$ кесіндісін диаметр етіп алып салынған шеңбермен жанасатынын дәлелде.
б) $G$ — осы шеңберлердің жанасу нүктесі болсын. $D$, $G$ және $B$ нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелде.
комментарий/решение(1)
Есеп №5. Өлшемі $3\times 3\times 4$ параллелепипедті жазықтықтармен бірлік кубиктерге ($1\times 1\times 1$) бөлшектеп кесу қажет. Егер кескенде пайда болған бөліктерді бірінің үстіне бірін қоюға рұқсат етілсе, ең кем дегенде неше рет жазықтықтармен кесу керек.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Үлкен табаны $AB$ болатын $ABCD$ трапециясының $AC$ және $BD$ диагоналдары өзара перпендикуляр. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $O$, ал $OB$ және $CD$ тузулерінің қиылысу нүктесі $E$ болсын. $B{{C}^{2}}=CD\cdot CE$ теңдігін дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №7. Кез келген теріс емес нақты $a$ және $b$ сандары үшін $\dfrac{a+\sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\sqrt[3]{a{{b}^{2}}}+b}{4}\le \dfrac{a+\sqrt{ab}+b}{3}$ теңсіздігінің орындалатынын дәлелде.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №8. а) Кез келген тізбектес 79 натурал санның ішінен цифрларының қосындысы 13-ке бөлінетін сан табылатынын дәлелде.
б) Әркайсысының цифрларыньщ қосындысы 13-ке бөлінбейтін тізбектес 78 натурал санды тап.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)