Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
По модули 11, в начале у нас имееются остатки 1,3,4,5,9 каждый по 400 штук (считая и число 1).
Чисел 2000; знаков 1999, начинает и заканчивает первый игрок.
Соответсвенно первый выбирает любой знак, и ходит второй.
Дальше первый ходит противоположно 2-му, отнимая или прибавляя число того же остатка по модули 11, что бы остаток при первом числе остался.
Заметим, что чисел 2000, а ходов - 1999, начинает первый. Как бы они не ходили, рассмотрим последний ход. Пусть X - сумма всех полученных чисел, кроме последнего (даже если стоит минус, будем считать как суммируем отрицательное число). В конце первый игрок решает ставить либо x+3a, либо x−3a. Легко заметить, что оба числа не могут одновременно делиться на 11, иначе 2∗3a делится на 11, противоречие, поэтому 1-ый игрок может выбрать операцию, что не делится на 11
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.