Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс


Два ученика по очереди заменяют знак «» на знак «+» или «» в выражении 13323331999. Цель второго ученика — в итоге получить число, делящееся на 11. Сможет ли первый ученик помешать ему в этом?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
4 года 1 месяца назад #

По модули 11, в начале у нас имееются остатки 1,3,4,5,9 каждый по 400 штук (считая и число 1).

Чисел 2000; знаков 1999, начинает и заканчивает первый игрок.

Соответсвенно первый выбирает любой знак, и ходит второй.

Дальше первый ходит противоположно 2-му, отнимая или прибавляя число того же остатка по модули 11, что бы остаток при первом числе остался.

  3
3 года назад #

Заметим, что чисел 2000, а ходов - 1999, начинает первый. Как бы они не ходили, рассмотрим последний ход. Пусть X - сумма всех полученных чисел, кроме последнего (даже если стоит минус, будем считать как суммируем отрицательное число). В конце первый игрок решает ставить либо x+3a, либо x3a. Легко заметить, что оба числа не могут одновременно делиться на 11, иначе 23a делится на 11, противоречие, поэтому 1-ый игрок может выбрать операцию, что не делится на 11