Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып

Екі оқушы кезектесіп $1\cdot 3\cdot {{3}^{2}}\cdot {{3}^{3}}\cdot \ldots \cdot {{3}^{1999}}$ өрнегіндегі «$\cdot $» таңбасын «$+$» не «$-$» таңбасына өзгертеді. Екінші оқушының мақсаты — нәтижесінде 11-ге бөлінетін қосынды алу. Бірінші (бастайтын) оқушы бұған кедергі жасай ала ма?

Комментарий/решение

По модули 11, в начале у нас имееются остатки 1,3,4,5,9 каждый по 400 штук (считая и число 1).

Чисел 2000; знаков 1999, начинает и заканчивает первый игрок.

Соответсвенно первый выбирает любой знак, и ходит второй.

Дальше первый ходит противоположно 2-му, отнимая или прибавляя число того же остатка по модули 11, что бы остаток при первом числе остался.

Заметим, что чисел $2000$, а ходов - $1999$, начинает первый. Как бы они не ходили, рассмотрим последний ход. Пусть $X$ - сумма всех полученных чисел, кроме последнего (даже если стоит минус, будем считать как суммируем отрицательное число). В конце первый игрок решает ставить либо $x+3^a$, либо $x-3^a$. Легко заметить, что оба числа не могут одновременно делиться на $11$, иначе $2*3^a$ делится на $11$, противоречие, поэтому $1$-ый игрок может выбрать операцию, что не делится на $11$