Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс
Найдите все попарно различные цифры a, b, c, d удовлетворяющее уравнению ¯abccba=¯cda2.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Так как ¯abccba=100001a+10010b+1100c=11(9091a+910b+100c), это число делится на 11, тогда¯cda2 делится на 11, тогда и на 121. И заметим что 9091a+910b+100c делится на 11, и это число 9091а−9086a+910b−902b+100c−99c=5a+8b+c делится на 11. Так как ¯cda делится на 11, то и число 100c−99c+10d+a=c+10d+a делится на 11. Тогда и число5a+8b+c−(c+10d+a)=4a+8b−10d делится на 11. Если число и квадрат числа окончивается на одну и ту же цифру, то это цифра равняется 0,1,5,6. 0 не может быть, так как цифры b и a различны. Пусть a=1, тогда |2+4b−5d| делится на 11. Тогда методом перебора подходят для пар (b,d) (3,5),(4,8),(6,3),(7,6),(8,9). Аналогично вычесляем c для каждых пар (b,d). И при a=5,6 методом перебора вычесляем нужные ответы.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.