Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс


Найдите все попарно различные цифры a, b, c, d удовлетворяющее уравнению ¯abccba=¯cda2.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
6 года 2 месяца назад #

Так как ¯abccba=100001a+10010b+1100c=11(9091a+910b+100c), это число делится на 11, тогда¯cda2 делится на 11, тогда и на 121. И заметим что 9091a+910b+100c делится на 11, и это число 9091а9086a+910b902b+100c99c=5a+8b+c делится на 11. Так как ¯cda делится на 11, то и число 100c99c+10d+a=c+10d+a делится на 11. Тогда и число5a+8b+c(c+10d+a)=4a+8b10d делится на 11. Если число и квадрат числа окончивается на одну и ту же цифру, то это цифра равняется 0,1,5,6. 0 не может быть, так как цифры b и a различны. Пусть a=1, тогда |2+4b5d| делится на 11. Тогда методом перебора подходят для пар (b,d) (3,5),(4,8),(6,3),(7,6),(8,9). Аналогично вычесляем c для каждых пар (b,d). И при a=5,6 методом перебора вычесляем нужные ответы.

  3
2 года 10 месяца назад #

bruh я все это высчитывал и оказалось, что таких чисел a,b,c,d нет((