Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

Дан прямоугольник $ABCD$ с большей стороной $AB$. Окружность с центром в точке $B$ с радиусом $AB$ пересекает прямую $CD$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что:
а) окружность, описанная около треугольника $EBF$, касается с окружностью с диаметром $AD$.
б) Если $G$ — точка пересечения этих окружностей, то точки $D$, $G$, $B$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

$$a) \quad BC=AD=x, \qquad OB=R$$

$$EF\cap BO=C \Leftrightarrow EC \cdot CF = BC \cdot (2R-BC)=x(2R-x)$$

$$EC=CF \Rightarrow EC^2=2Rx-x^2 \Rightarrow AB^2=EC^2+x^2=2Rx \Rightarrow AB=\sqrt{2Rx}$$

$$AB=ZZ_0=\sqrt{2Rx} , \quad OZ_0=OB-Z_0B=R-\frac{x}{2}\Rightarrow$$

$$OZ=\sqrt{ZZ_0^2+OZ_0^2}=\sqrt{2Rx+(R-\frac{x}{2})^2}=\sqrt{(R+\frac{x}{2})^2}=R+\frac{x}{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow OZ=OG+GZ \Rightarrow \omega \cap \Omega_1=G$$

$$b) \quad \angle GOB=2\phi \Rightarrow \angle GBA=\phi$$

$$\triangle OZZ_0: \quad \angle Z_0OZ=2\phi \Rightarrow \angle OZZ_0=90^o-2\phi \Rightarrow \angle DZG=2\phi$$

$$\triangle ODG:\quad DZ=ZG \Rightarrow \angle ZDG=90^o-\phi \Rightarrow \angle DBA=\phi$$

$$\angle GBA=\phi, \quad \angle DBA=\phi \Rightarrow G\in AB$$