Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс

а) Докажите, что среди любых 79 последовательных натуральных чисел есть число, сумма цифр которого делится на 13.
б) Найдите 78 последовательных натуральных чисел, для которых сумма цифр каждого из них не делится на 13.

Комментарий/решение

a) Если разделить числа по $100$ последовательных чисел и в каждой сотне выделить по $10$ чисел, то сумма цифр в каждой десятки будет давать возрастающую сумму $x$ до $x+9$ для одно десятки, $x+1$ до $x+10$ для второй последующей десятки и.т.д до $[x+9, x+18]$ , покажем что среди любых $80$ последовательных чисел, найдется одно которое делиться на $13$ это связано с тем что среди чисел $[x, x+16]$ (следует из вышеописанного) всегда найдется найдется число которое делится на $13$.

б) к примеру $9999999961-10000000038$