Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2022 год

Есеп №1. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$M$ ,

$N$ ,

$P$ және

$Q$ нүктелері сәйкесінше

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ және

$DA$ қабырғаларының орталары.

$MP=NQ$ екені белгілі.

$AC$ және

$BD$ диагоналдарының перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Өлшемі

$9\times 7$ болатын торлы тақта берілген. Тақтада бір клетка белгілеген (суретті қара). Белгіленген клетка ішінде жататын және қабырғалары тор сызықтарында жататын қанша тіктөртбұрыш бар?

комментарий/решение

Есеп №3.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ — оң сандар. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$x^2+xy^2+xyz^2 \ge 4xyz-4.$
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_n$ сандары 1, 2,

$\ldots$ ,

$n$ сандарының қандай да бір орын ауыстырылымы. Қандай натурал

$n$ сандары үшін,

$0, \ a_1,\ a_1 + a_2, \ \ldots, \ a_1 +a_2+ a_3+\ldots +a_n$ сандарын

$n+1$ санына бөлгенде, пайда болған қалдықтар әртүрлі бола алады?
комментарий/решение

Есеп №5. Дөңес

$PQRS$ төртбұрышында келесі қабырға ұзындықтары берілген:

$PQ=40$ ,

$PS=60$ және

$RS=20$ . Егер

$\angle QPS=\angle RSP=60{}^\circ$ болса, онда

$QRS$ бұрышы неше градусқа тең?
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Натурал санның «әр түрлі жай бөлгіштерінің жиыны» деп, оның қайталанбай алынған барлық жай бөлгіштерін айтамыз. Мысалы, 40 санының «әр түрлі жай бөлгіштерінің жиыны» ол 2 және 5 сандары. Екі

$A=2^k-2$ және

$B=2^k \cdot A$ сандары берілген, бұл жерде

$k \ge 2$ .

$A+1$ және

$B+1$ сандарының «әт түрлі жай бөлгіштерінің жиыны» бірдей екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №7. Келесі жүйені қанағаттандыратын барлық

$(x, y, z)$ нақты сандар үштіктерін табыңыз:

$\left\{ \begin{array}{l} xy = z - x - y,\\ xz = y - x - z,\\ yz = x - y - z. \end{array} \right.$
комментарий/решение(1)

Есеп №8.

$M=\{1, 2, \ldots, 9\}$ жиыны берілген.

$M$ -нің ішкі

$S$ жиыны келесі қасиетке ие:

$S$ -тің қос-қостан алған кез келген екі элементтерінің қосындылары әртүрлі. Мысалы,

$S$ ретінде

$\{1, 2, 3, 5\}$ жиынын алса болады, ал

$\{1,2,3,4,5\}$ жиынын алуға болмайды (өйткені

$1+4=2+3$ ).

$S$ жиынында ең көп дегенде қанша элемент болуы мүмкін? Кез келген жиында бірдей сандар болмауы керек екенін еске саламыз.
комментарий/решение