Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2022 год

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ являются серединами сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Известно, что $MP=NQ$. Докажите, что диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

По теореме Вариньона MNPQ - параллелограмм, так как эти точки - середины выпуклого четырехугольника. По условию, у MNPQ - равны диагонали, а раз он параллелограмм, то он и прямоугольник. ΔВСD: BD || NP, ΔABC: AC || MN - средние линии. Так как MN и PN - перпендикулярны, стало быть и АС перпендикулярен BD.