Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2022 год

Задача №1. В выпуклом четырёхугольнике

$ABCD$ точки

$M$ ,

$N$ ,

$P$ и

$Q$ являются серединами сторон

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ и

$DA$ соответственно. Известно, что

$MP=NQ$ . Докажите, что диагонали

$AC$ и

$BD$ перпендикулярны.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дана сетчатая таблица

$9\times 7$ , в которой одна клетка закрашена (см. рис.). Сколько прямоугольников, стороны которого идут по линиям сетки, содержат эту закрашенную клетку?

комментарий/решение

Задача №3. Пусть

$x$ ,

$y$ ,

$z$ — положительные числа. Докажите неравенство:

$x^2+xy^2+xyz^2 \ge 4xyz-4.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. Набор чисел

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_n$ является перестановкой чисел 1, 2,

$\ldots$ ,

$n$ в каком-то порядке. Для какого натурального

$n$ возможно такое, что числа

$0, \ a_1,\ a_1 + a_2, \ \ldots, \ a_1 +a_2+ a_3+\ldots +a_n$ дают попарно различные остатки при делении на

$n+1$ ?
комментарий/решение

Задача №5. В выпуклом четырехугольнике

$PQRS$ даны длины сторон:

$PQ=40$ ,

$PS=60$ и

$RS=20$ . Найдите значение

$\angle QRS$ , если

$\angle QPS=\angle RSP=60{}^\circ$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. «Набором различных простых делителей» натурального числа назовём все его простые делители, перечисленные без повторений. Например, у числа 40 «набор различных простых делителей» — это 2 и 5. Даны два числа

$A=2^k-2$ и

$B=2^k \cdot A$ , где

$k \ge 2$ . Докажите, что числа

$A+1$ и

$B+1$ имеют один и тот же «набор различных простых делителей».
комментарий/решение(1)

Задача №7. Найдите все тройки действительных чисел

$(x, y, z)$ , удовлетворяющих системе уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} xy = z - x - y,\\ xz = y - x - z,\\ yz = x - y - z. \end{array} \right.$
комментарий/решение(1)

Задача №8. Дано множество

$M=\{1, 2, \ldots, 9\}$ . Пусть

$S$ — подмножество

$M$ такое, что суммы во всех парах чисел из

$S$ различны. Например, в подмножестве

$\{1, 2, 3, 5\}$ нет пары чисел с одинаковой суммой и такое подходит, а в подмножестве

$\{1,2,3,4,5\}$ найдутся две пары с одинаковой суммой

$(1+4=2+3)$ и такое не подходит. Какое наибольшее количество элементов может быть в

$S$ ? Напоминаем, что в любом множестве не должно быть одинаковых чисел.
комментарий/решение