Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2022 год

Дано множество $M=\{1, 2, \ldots, 9\}$. Пусть $S$ — подмножество $M$ такое, что суммы во всех парах чисел из $S$ различны. Например, в подмножестве $\{1, 2, 3, 5\}$ нет пары чисел с одинаковой суммой и такое подходит, а в подмножестве $\{1,2,3,4,5\}$ найдутся две пары с одинаковой суммой $(1+4=2+3)$ и такое не подходит. Какое наибольшее количество элементов может быть в $S$? Напоминаем, что в любом множестве не должно быть одинаковых чисел.

Комментарий/решение

Ответ:5 элементов

По условию мы знаем что числа 1,2,3,5 подходят далее можем добавить числа 6,7,8,9 =>

Очевидно что: 8+2=9+1

7+2=8+1

6+2=5+3

А вот число 9 подойдёт т.к оно самое большое и даже сумма чисел 3+5<9

А числа 3 и 5 самые большие =>

[1,2,3,5,9