Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2022 год

Найдите все тройки действительных чисел $(x, y, z)$, удовлетворяющих системе уравнений: $$\left\{ \begin{array}{l} xy = z - x - y,\\ xz = y - x - z,\\ yz = x - y - z. \end{array} \right.$$

Комментарий/решение

Сложим первые два $x(y+z+2)=0$ откуда $x=0, \ y+z=-2$

1) $x=0, \ z=y, \ y^2=-2y$ или $y(y+2)=0, \ y=0, y=-2$ то есть $(0;0;0), \ (0;-2;-2)$

2) $y+z=-2$ сложив первое и третье $y(x+z+2)=0$ откуда два варианта

$1.1) \ y+z=-2, \ y=0, \ z=-2, \ x= -2$ или $(-2;0;-2)$

$1.2) \ y+z=-2, \ x+z=-2$

$y=x, \ x^2=z-2x, \ xz=-z$

$z(x+1)=0$

$z=0; \ $

$x=-1$

1. $x^2=-2x, \ x(x+2)=0$

$(0;0;0), \ (-2; -2; 0)$

2. $(-1;-1;-1)$

всего 6 решений $(0;0;0) \ (0;-2;-2) \ (-2;0;-2) \ (0;0;0) \ (-2; -2; 0) \ (-1;-1;-1)$