Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2022 год

Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $M$, $N$, $P$ және $Q$ нүктелері сәйкесінше $AB$, $BC$, $CD$ және $DA$ қабырғаларының орталары. $MP=NQ$ екені белгілі. $AC$ және $BD$ диагоналдарының перпендикуляр екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

По теореме Вариньона MNPQ - параллелограмм, так как эти точки - середины выпуклого четырехугольника. По условию, у MNPQ - равны диагонали, а раз он параллелограмм, то он и прямоугольник. ΔВСD: BD || NP, ΔABC: AC || MN - средние линии. Так как MN и PN - перпендикулярны, стало быть и АС перпендикулярен BD.