1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Республиканская олимпиада
  4. Республиканская юниорская олимпиада
  5. 2017-2018 у.г.
  6. 7 класс. Областной этап

Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2017-2018 учебный год


Задача №1.  Когда барон Мюнхгаузен пришел с юбилея графа, он сказал, что на празднество разрезал семь тортов (каждый из них правильный треугольник) на правильные треугольники. Поскольку гостей был 91 человек, он разрезал каждый торт на 13 правильных треугольников и каждый раз разрезал их по-разному, без наложений. Покажите, как он это сделал.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  16 марта путешественник вышел из отеля в полдень и пошел пешком на вокзал. Известно, что электрички от вокзала до города ходят ежедневно только в 12:25 и 12:55. Каждые 20 секунд он делает 17 шагов, каждые 7 шагов составляют 5 м. Если расстояние от отеля до вокзала 2018 м, сможет ли он успеть на электричку?
комментарий/решение(2)
Задача №3.  $x,y,z$ — различные ненулевые цифры. $x,y,z$ увеличили на 1, 2, 3 соответственно. Каким будет наибольшее значение, на которое сумма $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ могла уменьшиться?
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Арман и Даурен считали рыцарей на картинке Круглого стола короля Артура по часовой стрелке. Рыцарь, который был 7-м по счету Армана, оказался 47-м в по счету Даурена. И рыцарь, который был 7-м по счету Даурена, оказался 30-м по счету Армана. Сколько рыцарей сидело за круглым столом короля Артура?
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Пусть дан квадрат $ABCD$. Пусть $K$ и $M$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно, $N$ ---некоторая точка на стороне $BC$. $E$ — точка пересечения прямых $NK$ и $AD$. Докажите, что $\angle EMN=90{}^\circ $ тогда и только тогда, когда $\angle BKN=60{}^\circ $.
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Алихан и Дамир играют в морской бой. Известно, что у Дамира остался целый корабль, состоящий из четырех клеток в ряд. Закрашены те клетки, в которые Алихан уже стрелял. Найдите наименьшее необходимое количество выстрелов Алихана, гарантирующие попадание в корабль Дамира?


комментарий/решение(5)
Задача №7.  Возможно ли расставить числа 1, 2, $\ldots $, 18 на окружности таким образом, что сумма любых трех подряд идущих чисел была в промежутке а) [30; 33]; б) [27; 30]; в) [23; 29]?
комментарий/решение(1)
Задача №8.  Число $a$ назовем особенным, если для каждого $k=1,2,\ldots ,10$ существуют целые положительные числа $x$ и $y$ такие, что $a={{x}^{2}}+k{{y}^{2}}.$ Сколько особых чисел среди 1005, 1006, 1007, 1008, 1009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018?
комментарий/решение