Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2017-2018 учебный год

$x,y,z$ — различные ненулевые цифры. $x,y,z$ увеличили на 1, 2, 3 соответственно. Каким будет наибольшее значение, на которое сумма $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ могла уменьшиться?

Комментарий/решение

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$ пусть это будет (1). А после операции это будет $$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}$$ пусть это (2). Тогда если (2) минимальное тогда (1)-(2) будет максимальным что нам нужно. (1)-(2)=$$\frac{1}{x(x+1)}-\frac{2}{y(y+2)}+\frac{3}{z(z+3)}$$ и оно будет максимальным если $$\frac{2}{y(y+2)}$$ минимальное а оно минимальное если значение y(y+2) максимальное тогда y=9. И что бы $$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{3}{z(z+3)}$$ были максимальным то z(z+3) и x(x+1) должны быть минимальными. Тогда один из двух случаев x=1,z=2 либо x=2,z=1. Но из этих двух случаев будет больше если x=2 и z=1. Тогда (1)-(2)= $$\frac{355}{396}$$