Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2017-2018 учебный год

Возможно ли расставить числа 1, 2, $\ldots $, 18 на окружности таким образом, что сумма любых трех подряд идущих чисел была в промежутке а) [30; 33]; б) [27; 30]; в) [23; 29]?

Комментарий/решение

Сумма всех чисел равна 171

a) допустим можно тогда вся сумма в промежутке [540;594]. Т.К. каждое число повторяется 3 раза значит сумма всех чисел в промежутке [180;198] противоречие.

1–18 сандарының қосындысы 171.

Шеңберде әр сан үш рет есептелетіндіктен, барлық үштіктердің қосындысы 3·171 = 513.

Үштіктер саны 18, сонда орташа мәні 513 ÷ 18 = 28,5.

Егер барлық үш санның қосындысы бір аралықта жатса, сол аралықта міндетті түрде 28,5 болуы керек (өйткені ол — орташа мән).

а) [30;33] → 28,5 жоқ → болмайды.

б) [27;30] → 28,5 бар → болады.

в) [23;29] → 28,5 бар → болады.