Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2017-2018 учебный год

Число $a$ назовем особенным, если для каждого $k=1,2,\ldots ,10$ существуют целые положительные числа $x$ и $y$ такие, что $a={{x}^{2}}+k{{y}^{2}}.$ Сколько особых чисел среди 1005, 1006, 1007, 1008, 1009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018?

Комментарий/решение

Особенным числом не может быть число, делящееся на 3, но не делящееся на 9, так как если взять k=9, x должен делиться на 3, а тогда правая часть делится на 9. Бракуем числа 1005, 2010, 2013.

Выкидываем также числа, делящиеся на 2, но не делящиеся на 4 по аналогичной причине (берем k=4). Бракуем числа 1006, 2014, 2018.

Остались числа 1007, 1008, 1009, 2011, 2012, 2015, 2016, 2017.

Возьмем k=10, в этом случае на последнюю цифру суммы влияет только x², а квадрат может заканчиваться только на 0, 1, 4, 5, 6, 9. Поэтому остаются только числа 1009, 2011, 2015, 2016.

Рассмотрим 2016. Пусть k=6; 2016=x²+6y²; поскольку 2016 делится на 6, x=6a; 336=6a²+y²; 336 тоже делится на 6 ⇒ y=6b; 56=a²+6b²⇒a=2c; 28=2c²+3b²; b=2d; 14=c²+6d²; c=2e; 7=2e²+3d², чего быть не может.

Рассмотрим 2015=x²+9y²; 2015 дает остаток 8 при делении на 9, а x² при делении на 9 может давать только остатки 0, 1, 4, 7. Поэтому равенство невозможно.

Переходим к 2011=x²+8y². 2011 дает остаток 3 при делении на 8, а x² может давать только остатки 0, 1, 4. Забраковали и это число.

Осталось число 1009. Все попытки доказать, что оно не является особенным, ни к чему не привели. И это неудивительно, поскольку оно равно 9·16·7+1, то есть дает остаток 1 при делении на 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, который и x² может дать. При делении на 5 это число дает остаток 4, который и x² может дать, при делении на 10 - остаток 9, который и x² может дать. Пришлось делать тупой перебор, который дал следующие результаты:

1009 = 3²+10·10² = 28²+9·5² = 19²+8·9² = 1²+7·12² = 25²+6·8² = 17²+5·12² = 15²+4·4² = 31²+3·4² = 19²+2·18² = 15²+1·28²,

Ответ:1

a саны әр k = 1…10 үшін � түрінде жазылуы керек.

Бұл мүмкін болу үшін a саны 1–10 сандарының ең кіші ортақ еселігіне, яғни 2520-ға еселі болуы қажет.

1005 пен 2018 арасында 2520-ға еселі сан жоқ (өйткені 2520 > 2018).

Жауабы: 0 ерекше сан.