Республиканская юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2017-2018 учебный год

Пусть дан квадрат $ABCD$. Пусть $K$ и $M$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно, $N$ ---некоторая точка на стороне $BC$. $E$ — точка пересечения прямых $NK$ и $AD$. Докажите, что $\angle EMN=90{}^\circ$ тогда и только тогда, когда $\angle BKN=60{}^\circ$.

Комментарий/решение

Решение: Пусть $\angle BKN = 60$, тогда пусть $BK = a = KA = CM = MD$. Отсюда, $KN = KE = 2a$, по теореме Пифагора и потому что $BN \parallel EA$ а также $BK = KA$, и все вместе по равенству треугольников выйдет что $KN = KE$. Теперь продлим $NM$ до пересечения с $AD$ в точке $X$. Выйдет что также $NM = MX$, а также $DX = NC$. А значит, $NC+BN = EA+DX = 2a$, отсюда $EN = EX$ а $EM$ - медиана, которая и высота в равнобедренном треугольнике что означает что $\angle NME$ равен $90$ градусов.

Теперь если изначально $\angle NME$ равен $90$ градусов, то опять продлим $NM$ до пересечения с $AD$ в точке $X$ и получим что $NC+BN = EA+DX = 2a$ а также $NM = MX$ а значит что $EN = EX$, а отсюда $EX = 2a + 2a = 4a$, и $EK = KN = 2a$. Тогда так как $\triangle BNK$ прямоугольный то $\angle BKN = 60$, из за $BK = a, KN = 2a$. Доказано