О. Нечаева

Задача №1. Эксперту предъявили 12 одинаковых на вид монет, среди которых, возможно, есть фальшивые. Все настоящие монеты весят одинаково, все фальшивые — тоже, фальшивая монета легче настоящей. У эксперта есть чашечные весы и эталонные монеты: 5 настоящих и 5 фальшивых. Сможет ли он за 4 взвешивания определить количество фальшивых монет в мешке?

( О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Даны

$2n$ -значное натуральное число

$a$ и натуральное число

$k$ . Числа

$a$ и

$ka$ записали на ленте и каждую из двух записей разрезали на двузначные числа, начиная с последних цифр (при этом числа

$00$ ,

$01$ ,

$\ldots$ ,

$09$ здесь тоже считаются двузначными; если в числе

$ka$ оказалось нечетное количество цифр, к нему спереди приписали

$0$ ). Оказалось, что у числа

$a$ полученные двузначные числа строго убывают справа налево (от младших разрядов числа

$a$ к старшим), а у числа

$ka$ — строго возрастают. Докажите, что

$k \geq n$ . ( С. Берлов, О. Нечаева )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №3. При каком наибольшем натуральном

$k$ клетки таблицы

$5\times 5$ можно заполнить нулями и единицами (в каждой клетке должно стоять ровно одно число) так, чтобы нашлись

$k$ строк, в каждой из которых сумма чисел не меньше 3, и

$k$ столбцов, в каждом из которых сумма чисел не больше 2? ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Внутри треугольника

$ABC$ расположена точка

$P$ . На стороне

$BC$ выбрана точка

$H$ , не совпадающая с серединой стороны. Оказалось, что биссектриса угла

$AHP$ перпендикулярна стороне

$BC$ , угол

$ABC$ равен углу

$HCP$ и

$BP = AC$ . Докажите, что

$BH = AH$ . ( О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Найдите все натуральные числа

$n$ , для которых число

$n^7+n^6+n^5+1$ имеет ровно три натуральных делителя. ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада