қазақша
русскийО. Нечаева
Есеп №1. Экспертке сырт жағынан бірдей 12 тиын берді. Олардың ішінде жалған тиын болуы мүмкін. Барлық шын тиын салмақтары бірдей, барлық жалған тиындардың да салмақтары бірдей де, бірақ жалған тиын шын тиыннан жеңілдеу. Экспертте екі табақты таразы және эталонды 5 жалған мен 5 шын тиын бар. Ол 4 өлшем жасап, қанша жалған тиын бар екенін анықтай алады ма?
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Натурал $k$ саны мен $2n$-таңбалы натурал $a$ саны берілген. $a$ және $ka$ сандарын жеке ленталарға жазып, әр лентаны соңынан бастап екі таңбалы сандарға қиды ($00$, $01$, $\ldots$, $09$ сандары да екі таңбалы болып саналады; егер $ka$ санының цифрлар саны тақ болса, онда оның алдына $0$ цифрын жазады). $a$ санынан алған барлық екі таңбалы сандар қатаң түрде оңнан солға қарай кемиді ($a$-ның кіші разрядынан үлкен разрядына қарай), ал $ka$ саны үшін ол қатар қатаң түрде өседі. $k \geq n$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов, О. Нечаева )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №3. $5\times 5$ тақтаның клеткаларына 0 немесе 1 сандарын жазуға болады (әр клеткада дәл бір ғана сан жазылуы керек). Натурал $k$ санының қандай ең үлкен мәнінде, келесі шарттар орындалатындай $k$ қатар мен $k$ баған табылады: осы $k$ қатардың әрқайсысында сандардың қосындысы 3-тен кем емес, осы $k$ бағанның әрқайсысында сандардың қосындысы 2-ден артық емес? ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышының ішінде $P$ нүктесі, ал $BC$ қабырғасында $H$ нүктесі белгіленген ($H$ — $BC$-ның ортасы емес). $AHP$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасына перпендикуляр болып шыққан және $\angle ABC = \angle HCP$, $BP = AC$ теңдіктері орындалады. $BH = AH$ екенін дәлелдеңіз. ( О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. $n^7+n^6+n^5+1$ санының дәл үш натурал бөлгіштері болатындай, барлық натурал $n$ сандарын табыңыздар. ( И. Рубанов, О. Нечаева )
комментарий/решение(1) олимпиада