Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур дистанционного этапа

Внутри треугольника $ABC$ расположена точка $P$. На стороне $BC$ выбрана точка $H$, не совпадающая с серединой стороны. Оказалось, что биссектриса угла $AHP$ перпендикулярна стороне $BC$, угол $ABC$ равен углу $HCP$ и $BP = AC$. Докажите, что $BH = AH$. ( О. Нечаева )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Отложим на продолжении отрезка $AH$ за точку $H$ отрезок $HQ = HP.$ Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, прямая $BC$ является биссектрисой угла $PHQ$, смежного с углом $AHP$ и, значит, серединным перпендикуляром к $PQ$. Поэтому $\angle ABC = \angle HCP = \angle HCQ = \angle BCQ,$ откуда получаем, что прямые $AB$ и $CQ$ параллельны. Заметим, что при этом прямые $AC$ и $BQ$ не параллельны, так как иначе точка $H$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABQC$ была бы, вопреки условию, серединой отрезка $BC.$ Так как, кроме того, $AC = BP = BQ,$ получается, что $ABQC$ — равнобедренная трапеция, и равенство $AH = BH$ — ее известное (и легко доказываемое) свойство.