Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2018-2019 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 2-ші туры


ABC үшбұрышының ішінде P нүктесі, ал BC қабырғасында H нүктесі белгіленген (HBC-ның ортасы емес). AHP бұрышының биссектрисасы BC қабырғасына перпендикуляр болып шыққан және ABC=HCP, BP=AC теңдіктері орындалады. BH=AH екенін дәлелдеңіз. ( О. Нечаева )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Отложим на продолжении отрезка AH за точку H отрезок HQ=HP. Поскольку биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, прямая BC является биссектрисой угла PHQ, смежного с углом AHP и, значит, серединным перпендикуляром к PQ. Поэтому ABC=HCP=HCQ=BCQ, откуда получаем, что прямые AB и CQ параллельны. Заметим, что при этом прямые AC и BQ не параллельны, так как иначе точка H пересечения диагоналей параллелограмма ABQC была бы, вопреки условию, серединой отрезка BC. Так как, кроме того, AC=BP=BQ, получается, что ABQC — равнобедренная трапеция, и равенство AH=BH — ее известное (и легко доказываемое) свойство.