қазақша
русскийКахарман Н.
Задача №1. Возможно ли, что для целых чисел $a$ и $c$ дискриминант квадратного уравнения $a{{x}^{2}}+2017x+c=0$ был равен $2016$? ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2. Докажите неравенство $ax+by\le 2016$, если ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 1008$ и ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4032.$ ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3. Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число (${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{k}}\vdots {{a}_{k+1}}$). Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором — 1? ( Кахарман Н. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4. Докажите неравенство $ax+ay+bx+2by\le 2016$, если ${{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}\le 1008$ и ${{x}^{2}}+2xy+2{{y}^{2}}\le 4032$. ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №5. При всяком ли натуральном $n$, большем $2016$, из дробей $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{2}{n-1}$, $\dfrac{3}{n-2}$, $\ldots$, $\dfrac{n-1}{2}$, $\dfrac{n}{1}$ можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами? ( Кахарман Н. )
комментарий/решение олимпиада
Задача №6. На доске записано число $x$. За один шаг его можно заменить либо на число $2x+4$, либо на число $3x+8$, либо на число ${{x}^{2}}+5x$. Можно ли за несколько таких шагов из числа 3 получить число 2016 или число 2017. ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №7. Круг радиуса 1 покрывает 9 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что среди этих точек можно отметить три, которые являются вершинами треугольника площади меньше 0,785. ( Кахарман Н. )
комментарий/решение(1) олимпиада