қазақша
русскийМатематикадан облыстық олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, 11 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $ABC$ үшбұрышының қабырғаларының ұзындықтары бүтін сандар болсын. $B$ төбесінен түсірілген биссектриса мен $C$ төбесінен түсірілген биіктік үшбұрыш ішінде $P$ нүктесінде қиылысады. $APB$ үшбұрышының ауданының $APC$ үшбұрышының ауданына қатынасы рационал сан екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $p$ жай сан болсын. Келесі екі шартты қанағаттандыратындай барлық реттелген $(a,b,c)$ үштіктерінің санын табыңыздар:
i) $a,b,c$ сандары $\lbrace1,2, \dots ,2p^2\rbrace$ жиынында жатады;
ii) $\dfrac{[a,c]+[b,c]}{a+b}=c \cdot \dfrac{p^2+1}{p^2+2} $, мұндағы $[x,y]$ — $x$ және $y$ сандарының ең кіші ортақ еселігі.
комментарий/решение(3)
i) $a,b,c$ сандары $\lbrace1,2, \dots ,2p^2\rbrace$ жиынында жатады;
ii) $\dfrac{[a,c]+[b,c]}{a+b}=c \cdot \dfrac{p^2+1}{p^2+2} $, мұндағы $[x,y]$ — $x$ және $y$ сандарының ең кіші ортақ еселігі.
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $A=1-{{2}^{-2011}}$ болсын. $A+{{A}^{2}}+{{A}^{4}}+\dots +{{A}^{{{2}^{1000000000}}}} < 2012$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Кассирде бір қорапта 200 ақша купюрасы бар. Ол қораптағы барлық купюраны бет жағын жоғары қаратып аударып шығу керек; ал купюралардың реті маңызды емес. Әрбір жүрісте қорапта жатқан бірнеше қатар тұрған купюраны таңдап, оларды аударады. Кез келген кораптағы купюралардың орналасуында барлық купюралар бет жағы жоғары қарап жататындай ең аз дегенде қанша жүріс жасау керек?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Кез келген $x$ және $y$, $x\neq y$ нақты сандары үшін келесі шарт орындалатындай барлық қатаң өспелі $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар:
$$
\dfrac{{2\left( {f\left( y \right) - f\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)} \right)}}{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}} = \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( y \right)}}{{2\left( {f\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) - f\left( x \right)} \right)}},
$$
мұндағы $\mathbb{R} $ — нақты сандар жиыны.
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №6. Үшбұрышта $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ бұрыштары сәйкесінше ұзындықтары $a$, $b$, $c$ болатын қабырғаларына қарсы жатыр. Теңсіздікті дәлелдеңіздер:
$$
a\left( {\dfrac{1}{\beta } + \dfrac{1}{\gamma }} \right) + b\left( {\dfrac{1}{\alpha } + \dfrac{1}{\gamma }} \right) + c\left( {\dfrac{1}{\alpha } + \dfrac{1}{\beta }} \right) \geqslant 2\left( {\dfrac{a}{\alpha } + \dfrac{b}{\beta } + \dfrac{c}{\gamma }} \right).
$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)